15.3 分式方程-2023-2024学年八年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

15.3 分式方程 1.理解和掌握分式方程的概念、分式方程的解法，能够解分式方程； 2.理解和掌握分式方程的增根的含义； 3.理解和掌握列分式方程解应用题的方法、步骤和常见的等量关系。 一、分式方程 1.分式方程 (1)概念：分母中含未知数的方程叫作分式方程。 (2)特征：一是方程；二是分母中含未知数。因此，整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数。 2. 分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路：分式方程去分母，整式方程。 (2)解分式方程的一般步骤： ①去分母：在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程。 ②解方程：解这个整式方程。 ③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0 的根是原方程的根；使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去。 (3)分式方程验根的方法： 把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误。 3. 分式方程的增根 (1)增根的定义：在方程两边都乘一个含未知数的最简公分母时，扩大了未知数的取值范围。 有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫方程的增根。 (2)分式方程产生增根的原因：解方程时，总是将方程两边同乘以含有未知数的整式(即最简公分母)，将分式方程化为整式方程，当所乘的这个整式不为零时，所得的整式方程与原方程同解；当所乘的整式为零时，原方程中的分式无意义，求出来的根就是增根。 (3)增根的特点：增根是原分式方程转化成整式方程后所产生的根，增根必定使各分式的最简公分母的值等于0。 题型一 分式方程的定义 在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 1．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 题型二 解分式方程 解方程： (1) (2)． 1．解方程： (1) (2) 2．解分式方程． (1)；(2)． 题型三 根据分式方程的解的情况求值 关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 1．已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A．2 B．1 C． D． 2．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 题型四 分式方程的增根问题 若关于的方程无解，则值为（    ） A． B． C．3 D．11 1．关于的方程有增根，则增根可能是（    ） A．1 B．3 C．－1 D．1或 2．若方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、分式方程的应用 1.分式方程的应用 解题步骤：分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的思路和方法基本相同。简单地说就是“审、找、设、列、解、验、答”。 ①审：审清题意。 ②找：找出相等关系。 ③设：设未知数。 ④列：列出分式方程。 ⑤解：解这个分式方程。 ⑥验：既要检验所得未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验其是否符合题意。 ⑦答：写出答案。 2.构建分式方程的方法 (1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系列方程。 (2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数。 3. 用分式方程解应用题的常见题型 (1)行程问题：有路程、时间和速度3个量，其关系式是“路程=速度×时间”，一般是以时间为等量关系。 (2)工程问题：有工作效率、工作时间和工作总量3个量，其关系式是“工作总量=工作效率×工作时间”，一般以工作总量为等量关系。 (3)增长率问题：其等量关系式是“原量×(1+增长率)=增长后的量，原量×(1-减少率)=减少后的量”。 题型五 列分式方程 嘉淇一家自驾游去某地旅行，导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路一的1.8倍，线路二的用时预计比线路一少半小时．设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 1．某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．“十一”黄金周，几名同学乘坐一辆客车前去“方特欢乐世界”游玩，客车的车费为180元，出发时，又增加了两名同学，结果