15.1 分式-2023-2024学年八年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

15.1 分式 1.理解和掌握分式的概念、分式的值为零、分式有意义的条件； 2.理解和掌握分式的基本性质、掌握分式的约分、通分的方法。 一、从分数到分式 1.分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫作分式。 A叫作分子，B叫作分母。 2.分式的3个要素(条件)：①形如 的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母。这3个条件缺一不可。 【理解和拓展】整式和分式的区别在于分式的分母中含有字母。因此，在判断一个式子是否是分式时，只看未化简的式子的分母中是否含有字母，即分母中含有字母的为分式。 2.分式有意义的条件 (1)分式有意义的条件：分母不等于零(因为0不能作除数，所以分式有意义的条件是分母不等于零)。 (2)分式无意义的条件：分母等于零。 (3)分式的值为零的条件：分子等于零，分母不等于零。二者缺一不可。 【理解和拓展】分式的值为零，千万不要忽视分母不为零这个条件。 题型一 分式的判断 下列式子中：，，，，，其中分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．对于，，，，，其中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 分式有意义的条件 要使分式有意义，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．若分式有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．下列分式中一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 题型三 分式无意义的条件 下列x的值中，使分式无意义的是（　　） A． B． C． D． 1．分式无意义的条件是（    ） A． B． C． D． 2．要使得分式无意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四 分式的值为0的条件 若分式的值为零，则x的值是（　　） A．3或 B．3 C． D．9 1．若分式的值为0，则x的值为（　　） A． B． C． D． 2．若分式的值为零，则x应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 题型五 分式的值为正（负）的条件 分式的值为负数的条件是（  ） A． B．且 C．且 D．，且 1．若分式的值为正，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D． 2．使分式的值为正数的条件是（    ） A． B． C． D． 二、分式的基本性质 1.分式的基本性质的意义：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.用式子表示： 0)，其中A，B，C均为整式。 3.分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面： ①不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数。 ②任意改变分式的分子、分母与分式本身的符号，其符号变化规律如下：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。例如： 【理解和拓展】分式的基本性质应注意“同”的含义，“同”字的意思是分子与分母都乘以(或除以)的整式是完全相同的。 4.分式的约分、最简分式 (1)分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫作分式的约分。 (2)分式约分的依据：分式的基本性质。 (3)约分的方法： ①先确定分子、分母的公因式。当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积。 当分子、分母是多项式时，应先将多项式因式分解，再根据以前所学的确定公因式的方法，确定公因式。 ②根据分式基本性质，分子分母都除以它们的公因式。 (4)最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。 【理解和拓展】分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式。 5.分式的通分、最简公分母 (1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫作分式的通分。 (2)通分的依据：分式的基本性质。 (3)最简公分母：异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母。 (4)确定最简公分母的步骤如下： ①系数。取各分母的系数的最小公倍数。 ②字母。各分式的分母中所有字母(或因式)都要取到。 ③指数。相同字母(或因式)的幂取指数最大的。 ④确定。所得系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母。 6.约分与通分的联系与区别 (1)联系：约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值。 (2)区别：约分是针对一个分式来说的，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式。 题型六 判断分式的变形是否正确 下列变形从左到右一定正确的是（　　） A．