3.3.2 抛物线的简单几何性质（七大考点）-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

3.3.2抛物线的简单几何性质 1.了解抛物线的简单几何性质; 2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题; 3.掌握直线与抛物线的位置关系，并会用方程思想解决此类问题. 一、抛物线的简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 二、通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 三、直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线的斜率存在时 设直线,抛物线,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程. ①若, 当时,直线与抛物线相交,有两个交点； 当时,直线与抛物线相切,有一个交点； 当时,直线与抛物线相离,无交点． ②若,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个交点．因此,直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)直线的斜率不存在时 设直线,抛物线：.显然,当时,直线与抛物线相离,无交点；当时,直线与抛物线相切,有一个交点；当时,直线与抛物线相交,有两个交点． 2．直线与抛物线相交弦的弦长公式 设直线与抛物线的两个交点为,则或 考点01由抛物线方程得到几何性质 1．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 2．（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 3．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 4．已知点在抛物线上，则的最小值为 ，取最小值时点的坐标为 ． 5．求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. (1)； (2)； (3)； (4). 考点02由几何性质得到抛物线方程 6．若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，且，则抛物线的标准方程为 . 8．焦点是的抛物线的标准方程是 ；准线方程是的抛物线的标准方程是 . 9．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程. 10．分别根据下列条件写出相应的抛物线标准方程： (1)焦点是； (2)准线方程是． 11．（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； （2）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积等于4，求此抛物线的标准方程. 12．若抛物线的准线与圆相切，求抛物线的准线和标准方程． 考点03直线与抛物线的位置关系 13．已知抛物线（）的焦点为F，点P是抛物线准线上一动点，作线段的垂直平分线，则直线与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（　　） A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{1,2} 14．已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 . 15．过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 16．过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？ 17．已知点和抛物线，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程． 18．点为抛物线上一点，为其焦点，已知． (1)求与的值； (2)以点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求的面积． 考点04抛物线的焦点弦问题 19．已知是抛物线：上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．24 B．28 C．30 D．32 20．直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，若，则弦的长是（    ） A． B． C． D． 21．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为3，则弦的长 22．物理学中的凸凹透镜的表面一般都是抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，2016年9月25日落成，2020年1月11日投入正式运行的“中国天眼”——500m口径射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（如图3甲），若其上边缘一点距离底部的落差约为，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入（如图乙）所示的平面直角坐标系内．一条平行于对称轴的光线射到点