专题4-4 数列求和综合大题15题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2024年高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

专题 4.4数列求和综合大题归类 · 一、知识梳理与二级结论 · 二、热考题型归纳 · 【题型一】 求和基础：公式法 · 【题型二】 分组求和 · 【题型三】 倒序求和（三角与组合数型） · 【题型四】 错位相消求和（插入数型） · 【题型五】 裂项相消求和（常规型） · 【题型六】 正负相间求和 · 【题型七】 分段数列求和 · 【题型八】 无理根式型裂项相消求和 · 【题型九】 复杂裂项型：分离常数型 · 【题型十】 复杂裂项型：分子裂差法 · 【题型十一】复杂裂项型：指数裂项法 · 【题型十二】复杂裂项型：等差指数仿写法 · 【题型十三】正负型：等差裂和法 · 【题型十四】正负型：等差裂差法 · 【题型十五】正负型：指数裂和法 · 三、高考真题对点练 · 四、最新模考题组练 知识梳理与二级结论 一、求和基础公式 1．通项an与前n项和Sn的关系是： an＝ 2．等差数列有关公式： (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 3．等比数列有关公式： (1)通项公式：an＝a1qn－1； (2)前n项和公式：Sn＝ 2、 求和基础思维 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 4.有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ） 5.形如，多可以通过奇偶取，再二次消去，得到奇数项或者偶数项累加法（或者跳项等差等比数列）的通项公式 3、 错位相消求和几种思维： 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）思维结构结构图示如下 （4）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． （5）万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 4、 裂项相消法 常见的裂项相消法求和类型 分式型：，，等； 指数型：， 等， 根式型：等， 对数型：，且； 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 热点考题归纳 【题型一】求和基础：公式法 【典例分析】 （23·24上·福州·期中）已知各项递增的等比数列，其前n项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)记数列的通项公式为，将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【提分秘籍】 等差等比求和公式： 等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 等比：前n项和公式：Sn＝ 【变式演练】 1.（23·24上·遂宁·阶段练习）等差数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)设，求证数列为等比数列，并求其前项和. 2.（22·23下·北京·期中）已知数列是等差数列，为其前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【题型二】分组求和 【典例分析】 （23·24上·徐汇·期中）若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列； (1)已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求的值； (2)若（），且是3级等差数列，求的最小正值，及此时数列的前3n项和； 【提分秘籍】 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 【变式演练】 1.（23·24上·盐城·期中）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，且，设，求数列的前项和． 2.（23·24上·深圳·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【题型三】倒序求和（三角与组合数型） 【典例分析】 （22·23下·长沙·阶段练习）已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【提分秘籍】 倒序求和 倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数 【变式演练】 1.（23·24上·大连·期中）已知函数. (1)若对任意的恒成立，求t的取值范围； (2)设且，证明：. 2.（22·23下·佛山·阶段练习）记为等差数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，记为数列的前项和，求的值. 【题型四】错位相消（插入数型） 【典例分析】 （23·24上·肇