第二十四章 圆 解答题 提升能力专项复习讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 解答题 人教版九年级数学提升能力专项复习讲义 第一部分：熟悉教材 圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 3．两圆的性质 (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为r，OP=d，则有 点P在⊙O外； 点P在⊙O上； 点P在⊙O内； 2．判定几个点在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d. (1)直线l和⊙O没有公共点直线和圆相离 . (2)直线l和⊙O有唯一公共点直线和圆相切 . (3)直线l和⊙O有2个公共点直线和圆相交 . 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 5．圆和圆的位置关系 设的半径为，圆心距. (1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离； (2)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的内部内含； (3)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外切； (4)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的内部 内切； (5)和有2个公共点相交； 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. (4)垂心：是三角形三边高线的交点. 2．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 圆中有关计算 圆的面积公式： ，周长. 圆心角为、半径为R的弧长. 圆心角为，半径为R，弧长为l的扇形的面积. 第二部分：典型例题 （2024年辽宁省中考样卷第21题）如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 分析：1、证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴； 2、解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴． 第三部分：自主练习 1、如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF． （1）