素养拓展36 圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展36 圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、向量共线 运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决. 【一般策略】 通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题. 二、向量的数量积 向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面. 【一般策略】 在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化. 三、相应的知识储备 1.共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2.数量积的运算 （1）已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) (2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 二、题型精讲精练 【典例1】已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． (1)求的方程； (2)设过点的直线与相交于，两点，且，求的面积及直线的方程． 【解析】（1）设，因为直线的斜率为，，所以，解得． 又，解得，所以椭圆的方程为． （2）设、，由题意可设直线的方程为：， 联立，消去得， 当，所以，即或时，，， 由，得，代入上解得，即， 又 点到直线的距离，所以， 此时直线的方程为：或． 【典例2】已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程. 【解析】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为， 即，又双曲线的右焦点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，，设直线的方程为，显然， 由消去整理得，显然，， 而，则 ， 化简得，即，而，解得， 所以直线的方程为，即. 【题型训练-刷模拟】 1.向量共线 一、解答题 1．已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长． 2．已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3． (1)求椭圆C的方程； (2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值． 3．经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，且，，．求和． 4．已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率． 5．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点 (1)求双曲线方程； (2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程． 6．已知双曲线的两条渐近线分别为，. (1)求双曲线的离心率； (2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积. 7．已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程． 8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围． 9．已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点． (1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值； (2)若，求的面积； (3)设直线与直线交于点，证明：三点共线． 10．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且. (1)求的值； (2)若直线与交于两点，与交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值. 11．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于