4.3对数课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.3 对数 新课导入1 在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从中求出经过年后B地景区的游客人次为2001年的倍数.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？ 上述问题实际上就是从，，，…中分别求出，即已知底数和幂的值，求指数.这就是本节要学习的对数. 新课讲解1 一、对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数. 例如，由于，所以就是以1.11为底2的对数，记作；再如，由于，所以以4为底16的对数是2，记作 通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记为.另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并 把记为. 对数的基本性质 ①根据对数的定义，我们以得到指对互换的关系： 当时， ②由指数与对数互换的关系式，可以得到关于对数的如下结论： (1)负数和没有对数；>0 (2)，. ③ 例1 把下列的指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) (2) (3) (4) (5) (6). 解：(1) (2) (3); (4) (5) (6). 例2 求下列各式中的值： (1); (2); (3) (4) 解：(1)因为所以 . (2)因为所以又所以. (3)因为所以于是 (4)因为所以于是 练习（P123） 新课导入2 在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质.你认为可以怎样研究？ 可以 (1)设，因为所以. 根据对数与指数间的关系可得： 这样，就得到了对数的一个运算性质： 同样地，同学们可以仿照上述过程，由和，自己推出对数运算的其他性质. (2)设，因为所以. 根据对数与指数间的关系可得： 这样，就得到了对数的一个运算性质： (3)设，因为所以. 根据对数与指数间的关系可得： 这样，就得到了对数的一个运算性质： 二、对数的运算 新课讲解2 于是，我们得到如下的对数运算性质. 如果，且，，，那么 (1) (2) (3) 例3 求下列各式的值： (1) (2). 解：(1) (2). 例4 用表示. 解： 数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或为底的对数，就能方便地求出这些对数. 设则于是 根据性质(3)得，即 我们把上式叫做对数换底公式. 可用换底公式证明以下结论： ① ② ③ 在4.2.1的问题1中，求经过多少年地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值.由换底公式，可得 . 利用计算工具，可得， 由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到了2001年的2倍. 类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数. 例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍精确到1? 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和.由，可得， .于是， 利用计算工具可得，虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍. 练习（P126） 常见题型分类 题型一：对数的概念 例1 有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 C B 题型二：对数式与指数式互化 C 题型三：利用对数性质解对数方程 题型四：利用对数运算性质化简 BCD 题型五：用已知对数表示其他对数 9 题型六：利用换底公式证明等式 课堂小结 一、对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数，并把记为；以为底的对数称为自然对数，并把记为. 对数的基本性质 ①根据对数的定义，我们以得到指对互换的关系： 当时， ②由指数与对数互换的关系式，可以得到关于对数的如下结论： (1)负数和没有对数；>0 (2)，. ③ 二、对数的运算 对数运算性质 如果，且，，，那么 (1) (2) (3)