(1)空间向量及其运算-【步步维赢·必刷题】高二数学寒假作业

高二寒假作业（一）》 空间向量及其运算 4.空间向量的数量积 温一故知一新 (1)定义：已知两个非零向量a,b,则 1.空间向量 (1)定义：在空间，我们把具有 叫做a,b的数量积，记作a·b.即a·b三 和 的量叫做空间向量. (2)长度：空间向量的 叫做空间 (2)由数量积的定义，可以得到： 向量的长度或 a⊥b台 ;a·a=aa cos(a,a〉= 2.空间向量的线性运算 空 加法a+b=OA+AB 5.空间向量基本定理 间 定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么 向 减法a-b=O才-O心 对任意一个空间向量p,存在唯一的有序 量 当入>0时，λa= 实数组(x,y,x),使得 的 AOA=P夜 线 数乘 0 *A 其中，把{a,b,c}叫做空间的一个 性 运算 当1<0时，aa=λO才 P AA>o a,b,c都叫做 ,空间任意三个不 运 -MN N Aa(A<o)M 算 共面的向量都可以构成空间的一个 当A=0时，Aa=0 基底。 交换律 a+b= 运 (a+b)+c= 精-典题一练 算 结合律 A(a)= 律 1.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC (入十)a=a十a, 分配律 (a+b)= 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C一定共面的是 () 3.空间向量的夹角 A.OM-OA+OB+O元 图示 B.OM=20A-OB-OC 、 b0bB C.0i=0i+号oi+30d 已知两个非零向量a,b,在空间 任取一点O,作OA=a,O=b, 定义 D.0i-Oi+号oi+30d 则 叫做向量a,b的夹角，记 2.在棱长为a的正方体ABCD-A,B,C,D 作 中，向量BA与向量AC所成的角为 通常规定： ≤(a,b)≤ 范围 当(a,b)= 时，a与b垂直， A.60 B.150° 记作 C.90° D.120° 3.在平行六面体ABCD-A,BCD1中，M 7.（多选)已知正方体ABCD-A,B,CD的 是上底面对角线AC与BD的交点，若 中心为O,则下列结论中正确的有() AB,=a,AD,=b,A1A=c,则B,M可表 A.OA+OD与OB+OC是一对相反 示为 向量 B.O庐-O心与OA-OD,是一对相反 向量 1 C.OA+Oi+O心+Oj与OA+OB,+ C.-ja- 1 2a-2b+c OC+OD是一对相反向量 D.OA-OA与O元-OC是一对相反 D.- 1 2a+2b+c 向量 4.若向量MA,MB,MC的起点M与终点 8.给出下列命题，正确命题的有 ( A,B,C互不重合，且点M,A,B,C中无 A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底， 三点共线，满足下列关系(O是空间任一 d与c共线，d≠0，则{a,b,c}也可以 点)，则能使向量MA,MB,MC成为空间 作为空间的一个基底 一个基底的关系是 B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都 A.OM-10A+70B+00 不能构成空间的一个基底 B.MA≠Mi+Md C.A,B,M,N是空间四点，若BA,BM, C.OM-OA+OB+OC B不能构成空间的一个基底，则A, D.MA=2 MB-MC B,M,N四点共面 5.空间四边形OABC中，OA=a,O=b, D.已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N =a十c,则{a,b,m}也是空间的一个 为BC中点，则MN为 基底 9.已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC 外一点，若由OM=-2OA+OB+AOC B 2 3a+ 确定的点M与A,B,C共面，则A= C. 1 10.在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，M D.号a+号b2c 为AC与BD的交点，若AB,=a,AD =b,A1A=c,用a,b,c表示D1M,则 6.平行六面体ABCDA,B,CD,中，向量AB, DM- AD,AA两两的夹角均为60°，且|AB=1, 11.如图，在正方体 AD1=2,AA1=3,则1ACI等于 OABC-O'A'B'C'中， ( Oi=a,O心=b, A.5 B.6 00=c. C.4 D.8 ·2 (1)用a,b,c表示向量OB,AC: (2)a十c与b十c夹角的余弦值。 (2)设G,H分别是侧面BB'C'C和 13.如图，已知在直三棱柱 O'A'B'C'的中心，用ab,c表示GH. ABCA'B'C'中，AC= BC=AA',∠ACB= 90°，D,E分别为AB, BB的中点. (1)求证：CE⊥A'D; 12.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c= (3,-2,z),a∥b,b⊥c,求： (1)a,b,c; (2)求异面直线CE与AC'所成角的余 弦值。 ·3·参考答案 高二寒假作业（一）空间向量及其运算 5