专题4.5 函数的应用（二）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题4.5 函数的应用（二） 知识点一 函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点 知识点二 函数零点的判定定理 条件 结论 函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点 (1)图象是连续不断的曲线 (2)f(a)f(b)＜0 知识点三 二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f (a)f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 知识点四 判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法 (1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解． (2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点． (3)定理法：利用零点的判定定理来判断． 知识点五 有关函数零点的三个结论 (1)若y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)一定有零点． (2)f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． (3)若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，且f (x)的图象连续不断，则f (a)·f (b)<0⇒函数f (x)在区间[a，b]上只有一个零点． 知识点六 指数函数模型的应用 f (x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1) 知识点七七 对数函数模型的应用 f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1) 考点01 求函数的零点 【典例1】（2023秋·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是 ． 【规律方法】 1.正确理解函数的零点： (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． (2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 考点02 判断零点所在的区间 【典例3】（2023·全国·高一专题练习）函数的零点落在的区间是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023·全国·高一专题练习）已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 判断函数零点所在区间的方法： 一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断． 考点03 函数零点个数的判断 【典例5】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【典例6】（2021秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）若函数满足，且当时，，则函数的零点个数为 ． 【规律方法】 判断函数零点个数的主要方法： (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 考点04 比较零点的大小 【典例7】（2023·全国·高一专题练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【典例8】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的两个零点分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 考点05 求函数零点的和 【典例9】（2023·全国·高一专题练习）是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【典例10】（2023秋·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 【总结提升】 对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.如