第03讲 相似三角形的性质（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第03讲 相似三角形的性质 1.理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上； 2.灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算； 3.理解并掌握射影定理，运用相似的性质解决有关射影定理图模； 4.运用相似三角形的性质解决综合问题。 知识点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点2 相似三角形的性质与判定综合 知识点3 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【题型1 相似三角形的性质】 【典例1】（2022秋•昌图县期末）已知两个相似三角形的相似比是1：3，那么它们的面积比是（　　） A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 【变式1-1】（2023•南明区校级模拟）若两个相似三角形的对应高的比为3：5，则它们对应周长的比为（　　） A．3：5 B．9：25 C．1：3 D．1：5 【变式1-2】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（　　） A．75° B．105° C．60° D．45° 【变式1-3】（2023•江安县一模）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023•泸县一模）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　） A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2 【题型2相似三角形的性质与判定综合应用】 【典例2】（2023•蕉城区校级一模）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 【变式2-1】（2022春•成武县期末）如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD． （1）求∠ADC度数； （2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长． 【变式2-2】（2023春•海阳市期末）如图，在正方形ABCD中，CD＝4，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED与AB交于点G，与DA的延长线交于点F． （1）求证：△BEG∽△CDE； （2）求△AFG的面积． 【变式2-3】（2022秋•细河区期末）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长． 【题型3 作图-相似变换】 【典例3】（2023秋•永安市期中）已知△ABC中，，，BC＝6，点M为AB的中点． （1）在线段AC上求作一点N，使△AMN∽△ABC（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下求线段MN的长