福建省永春华侨中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2023-2024学年永春华侨中学高二数学上学期期中考试卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．0 D．2 2．已知，，下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 A． B． C． D． 4．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（    ） A． B．5 C． D．5 6．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．对于直线，下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．直线l斜率必定存在 C．时，直线l的倾斜角为 D．时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为 10．已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．若，两圆相交弦所在直线为 B．两圆圆心所在直线为 C．过作圆的切线，切点为，，则 D．已知两圆的位置关系是相切，则 11．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（    ）    A．长轴长为4，短轴长为 B． C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点， 12．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为线段的动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点G，使得平面EFG C．设直线FG与平面所成角为，则的最大值为 D．点F到直线EG距离的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．经过直线和的交点且与直线平行的直线方程为 . 14．双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则 . 15．设，，若，则 ． 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上关于坐标原点对称的两点，且，且四边形的面积为，则的离心率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．求下列各曲线的标准方程 (1)长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆； (2)一个焦点为，实轴长为6的双曲线． 18．已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2， ，PD⊥底面ABCD． (1)证明：平面PBC⊥平面PBD； (2)若二面角P-BC-D为 ，求AP与平面PBC所成角的正弦值． 20．设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积. 21．如图，正方体的棱长为2，E、F分别为和的中点.    (1)求证：平面， (2)为棱上的动点，当平面与平面所成锐二面角的正弦值最小时，求. 22．已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解. 【详解】由于直线的倾斜角为， 则该直线的斜率为， 又因为，， 所以，解得.