3.2.1双曲线及其标准方程 （1） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

巴西利亚大教堂 北京摩天大楼 3.2.1 双曲线及其标准方程（1） 那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ 问 题： 与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆． 1. 椭圆的定义 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 平面内与两定点F1、F2的距离的 2. 引入问题： 复习引入 |MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0) 平面内与两定点F1、F2的距离的的点差等于常数的轨迹是什么呢？ 实验：如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉 开的两边上各选择一点 ，分别固定在点F1、F2 上， |FF2| = 2a ( a > 0) . 记 |MF1| - |MF2| = 2a ①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a ②如图(B)， 上面两条合起来叫做双曲线 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） |MF1| -|MF2|=-2a 根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？ ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. （1）2a<2c ； o F 2 F 1 M 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. （2）2a >0 ； 双曲线定义 说明 | |MF1| - |MF2| | = 2a （1）若2a=2c,则轨迹是什么？ （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ 思考1：定义中的2a有何限制？为什么？ （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (1)两条射线 (2)不表示任何轨迹 (3)线段F1F2的垂直平分线 （4）若2a<2c,则轨迹是什么？ (4)双曲线 说 明： 双曲线定义 M点的轨迹是什么？ M点的轨迹是焦点F1 所对应的一支； （1） （2） 焦点F2 所对应的一支 思考2:为什么定义中的距离之差要加绝对值？ 不加会得到什么？ （1）建系 （2）设点 （3）限制条件 （4）代入等式 （5）化简整理 M y O x 同学们亲手 练习！ M(x,y) 求:双曲线的标准方程 : F 2 F 1 M x O y 求曲线方程的步骤： 双曲线的标准方程 1.建系. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.找限制条件 |MF1| - |MF2|=±2a 4.代入 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 新知学习 5.化简 令 其他方法推导: 仿椭圆推导方法,同学们自主完成. _______双曲线的标准方程 说明: 1.焦点在x轴; 2. 焦点F1(-c,0),F2(c,0) ; 3. c2 = a2 + b2. 若建系时,焦点在y轴上呢? F 2 F 1 M x O y O M F2 F1 x y 思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上 新知学习 探究双曲线方程的求法 探究:利用双曲线的定义求轨迹方程 探究:利用双曲线的定义求轨迹方程 变式2已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是( ) (A)双曲线 (B)双曲线左边一支 (C)一条射线 (D)双曲线右边一支 解析:因为|MN|=4,|PM|-|PN|=4, 所以动点P的轨迹是一条射线,故选C. 解：（2） 探究:利用双曲线的定义求轨迹方程 解：（1） 例2 探究双曲线方程的求法 探究:待定系数法求方程 解法1： 解2： 则 解得 说明：求双曲线方程时，若没有指明焦点位置， 一般可设为： 解： 另解： 思考： 温故知新 说 明： 双曲线定义 M点的轨迹是什么？ M点的轨迹是焦点F1 所对应的一支； （1） （2） 焦点F2 所对应的一支 思考2:为什么定义中的距离之差要加绝对值？ 不加会得到什么？ 例1.(教材P121探究)如图点A(-5，0),B(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹. 解： 设 M(x，y) ， A B M O x y 则 即 化简 即 为所求点M的轨迹方程. 故点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线， 并去掉点(±5, 0). 探究双曲线有关的轨迹问题 变1. 点A( ，0),B( ，0), M在椭圆 上，探究 直线AM,BM的斜率之积否为定值？ 变式2.已知△ABC的两个顶点B(-1，0),C(1，0), 直线AB,AC所在直线的斜率之积等于m(m≠0), 探求顶点A的轨迹. 探究双曲线有关的轨迹问题