上海市延安中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

上海延安中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一、填空题（第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，共42分） 1.在正方体ABCD-AB,CD,中，AA=2,则直线AB到平面CDDC,的距离为 2.圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为30°，则该圆锥的高为 3.已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是 4.如图为正六棱柱ABCDEF-AB'C'D'E'F',与直线AB异面的侧棱共有条. B ◆G B D3.... G D B B (第4题) (第5题) (第8题) (第9题) 5.在正方体ABCD-A,B,C,D中，AA=2,G为棱CC的中点，则AG与平面ABCD所 成角的正切值为 6.设an=7+n+11,由a1,a2,a3,a,为质数，归纳猜想an=n2+n+11为质数，该猜 想 ·（选填“正确”或“错误”) 7.正方体ABCD-A,B,C,D的8个顶点都在同一个球面上，且AB=2,AD=√3，AA=1, 则球的表面积为 8,如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，若 OG=xOA+yOB+zOC,则乘积z=_ 9.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正 二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正 多面体，已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为 10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三 角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…， 从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆 放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 (第10题) (第11题) 11.如图，在透明塑料制成的封闭长方体ABCD-A,B,CD,容器内灌进一些水，将容器底 面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部 分始终呈棱柱状：②水面四边形EFGH的面积不改变：③棱AD,始终与水面EFGH平行： ④当E∈AA时，AE+BF是定值.其中正确说法是 12.若正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设2是以P为球 心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则2的体积为 二、选择题（每题3分，共12分） 13.若，B是两个不同平面，m,n是两条不同直线，则下列命题中不正确的是() A./B,m⊥a,则m⊥BB.m/ln,m⊥a,则n⊥ C.nl/a,n⊥B,则a⊥BD.au∩B=m,n与，B所成的角相等，则m⊥n 14.已知数列{an}的通项公式为an=n+1,记数列{an-tm}的前n项和为Sn,若Sn≤So 对任意的n∈N°恒成立，则实数t的取值范围是( 1211 1110 A. 斤10 c. 109 15.如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱 上下底面圆周上分别有确定的两点A、B,AB与圆柱的底面不垂 P 直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线 AB垂直的次数为() A.2B.4C.6D.8 16.如图，正方体ABCD-A'B'CD'的棱长为1，E,F分别是棱AA,CC的中点，过直 线EF的平面分别与棱BB',DD'交于点M,N,设BM=x,给出下列三个结论：①四边 形MENF一定为菱形：②若四边形MEWF的面积为S=f(x),x∈(O,I),则f(x)有最大 值：③若四棱锥A-MENF的体积为V=g(x),x∈(0.5，)，则 D B 8(x)为常值函数：其中正确结论有多少个？() E A.0B.1 C.2D.3 三、解答题（共46分) 特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分！ 17.(本题共8分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面 ABCD,M为PC中点. (1)求证：PA∥平面MBD;(4分) (2)若AB=PA=2,求直线AM与平面ABCD所成角的大 小.(4分) B 18.(本题共9分)如图，圆锥的顶点是S,底面中心为O,P为AS的中点，Q是半圆弧 AC的中点，且AC=4,AS=3. (1)求异面直线PQ与SO所成角的正切值：(4分) (2)在该圆锥侧面上，求从P到O的最短路径的长度.(5分) 0 19.(本题共14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB, DCI∥AB,PA=1,AB=2,PD=BC=√2. (1)求证：CD⊥平面PCD:(4分) (2)试在棱PB上确定一点E,使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的 体积比为2：1：(5分) (3)H是PB中点，