3.3.2抛物线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质 第三章 圆锥曲线的方程 1 复习回顾 定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 2 探究新知 追问 那其他的形式的抛物线方程呢？ 当x的值增大时，ǀyǀ的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 1. 范围 K F M(x,y) • • x y O H • • M′(x,-y) 关于x轴对称 即点(x,-y)也在抛物线上, 故抛物线y2 =2px(p>0)关于x轴对称. 则(-y)2 = 2px , 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 2.对称性 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 3 4.离心率 探究新知 3.顶点 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. ∴ y2 =2px(p>0)中，令y=0，则x=0. 即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点(0,0). K F M • • x y O H 由定义知, 抛物线的离心率为e=1. 抛物线上的点M与焦点F的距离和它到准线的距离d之比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示. 4 探究新知 过焦点且垂直于对称轴的弦 |AB|=2p 5.通径 A B y2=2px 2p x l F y O 抛物线方程中2p的几何意义： 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. 2p越大，抛物线张口越大 5 探究新知 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 焦半径公式： 6.焦半径 x l F M y O (x0,y0) 追问 那其他的形式的抛物线方程呢？ x l F A y O B (x1,y1) (x2,y2) 焦点弦公式： 7.焦点弦 过抛物线的焦点的线段 6 (1) 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线； (2) 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3) 抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线； (4) 抛物线的离心率e是确定的为１, (5) 抛物线的通径为2p, 2p越大,抛物线的张口越大. 归纳 7 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 抛物线的简单几何性质 8 例题讲解 l l 例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2, ),求它的标准方程. 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过M(2, ), 解: 所以设方程为： 又因为点M在抛物线上， 所以： 因此所求抛物线标准方程为： 9 例题讲解 例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. l F A A1 x y B B1 10 例题讲解 例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. l F A A1 x y B B1 解法1（代数法）： 由题意知：抛物线的焦点 F(1 , 0), 联立得： 11 例题讲解 例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. l F A A1 x y B B1 解法2（几何法（数形结合））： 由题意可知，，=1，焦点F的坐标为，准线方程为. 如图，设A() ， B()，A，B两点到准线的距离分别为． 由抛物线的定义可知， 于是得. 因为直线l的斜率为1，且过焦点，∴直线的方程为 ① 将①代入方程，得 化简，得 所以=6，. 所以，线段AB的长是8. 12 例题讲解 13 课堂小结 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 抛物线的简单几何性质 14 探究新知 1.抛物线的焦半径、焦点弦长公式 特别的：焦点弦垂直抛物线的对称轴，则其称为通径，长为2P（最短）. 2.抛物线的焦半