上海市实验学校2023-2024学年高一上学期期中数学试卷

上海实验中学2023学年第一学期高一年级数学期中 2023.11 一、填空题（共40分，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分) 1.若x,飞是一元二次力程3x2-10x+1=0的两根，则上+1的值为 X X2 2.若log3(10g2x)=0,则x= 3.已知集合A={4,2a+1,a},B={a-3,4-a,3}且A∩B={3},则a的取值为 4.陈述句a,b,c全为0”的否定形式为 5.已知集合A={x(a-1)x2-2x+1=0}有且仅有2个子集，则实数a= 6.已知ab>0,且a+4h=1,则1+}的最小值为 a b 7.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛， 有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比 赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图(Venndiagram),可知同时参加 田赛和径赛的有人。 8.若关于x的不等式x-2+x+1≥a对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 9.已知x>0,y>0,若-1≤lg≤2,1≤lg(xy)≤4，则lg的取值范围是 1 10.设x,y为正实数，若4x2+y2+y=1,则 4x+2y 20x2+11y+5y2 的取值范围是 二、选择题（共16分，每小题4分) 11.如果-1<a<b<0,则有() 11 11 A. <-<b2<a2 B. -<a2<b2 1 1 11 C. <，<b2<a2 D. -<<a2<b2 a b a b 12.集合M={mm∈N,8-m∈N,则m的个数是() A.6 B.7 C.8 D.9 13.已知集合A={x-3≤x≤2}，B={x-m<1.已知-2≤m≤1，命题p:x∈A, 命题q:x∈B,则命题p是命题g成立的() A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件 14.数学里有一种证明方法叫做Proofs without words,也称为无字证明，一般是指仅用图形 语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题.由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认 为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，在等腰直角△ABC中，点O为斜边AB的中点， 点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=Q,BD=b,则该图形可以完成的无字 证明为() A. a+b、 .a2+b2 2 2 (a>0,b>0) C. 2absJab(a>0.b>0)D.a+biz2J@b(a>O.b>0) a+b 三、解答题（共44分，要求写出必要的解答或证明步骤） 15.(本题满分10分) (1)已知l0g137=a,13=4,用a,b表示l0g2852. (2)已知+a三=5a>0,xeR,求r+a的值. 16.（本题满分10分) 解关于x的不等式2-2≥2x-ax(a∈R). 17.(本题满分12分) 已知集合A={r-4x-520}集合B={xr之2a且x≤a+2 (1)若a=-1,全集为实数集，求A∩B,AUB: (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围： (3)命题若x>b,则-1>0是真命题，求实数b的取值范围. X 18.(本题满分12分) 已知a>0,二次函数f(x)=ar-bx2. (1)当b>0时，若对任意x∈R,都有f(x)≤1，证明：a≤2Vb: (2)当b>1时，证明：对任意x∈[0，，f(x)≤1的充要条件是b-1≤a≤2V6: (3)当0<b≤1时，讨论对任意x∈[0，)，f(x)≤1的充要条件。 四、附加题（共20分，要求写出必要的解答或证明步骤） 19.(本题满分10分) 设x、y、:为互不相同的实数，对于 1++1+x+1+炒 y-z z-x x-y 1)令a=1+,b=1+y,用a、6表示 +x y-z x-y z-x (2)求 ++1++1+四的最小值. y-2 z-x x-y 20.(本题满分10分) 设S={2023,2024…,2039},而{a,a2,…,ag}为S的一个8元子集 求证： (1)存在非零自然数k,使得方程a,-a,=k至少有3组不同的解： (2)对于S的7元子集{4,4，，4，}，(1)中的结论不再总是成立.