精品解析：上海市南汇中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

上海南汇中学2023学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 用集合符号表示直线l在平面上______ 2. 设空间两个角与，若它们的两边分别平行，，则______. 3. 已知空间向量，且与垂直，则等于______. 4. 将画在水平放置的平面上得到，如果是斜边等于的等腰直角三角形，则的面积等于____． 5. 若一个二面角的大小为，且点到平面的距离为，则点到棱的距离为______． 6. 正三棱锥的底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为______． 7. 如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为__________． 8. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则与所成角的大小为___________. 9. 如图已知A是所在平面外一点，，E､F分别是的中点，若异面直线与所成角的大小为，则与所成角的大小为___________. 10. 给出下列命题：（1）不在同一直线上的三点确定一个平面； （2）垂直于同一个平面的两个平面平行； （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （4）若直线，，则； （5）若平面上有三个不共线的点到平面的距离相等，则． 写出所有真命题的序号______． 11. 已知三棱柱及空间中一点P，且，（，m为常数），若三棱的体积为24，则三棱锥的体积为_________． 12. 已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则______． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分） 13. 2022年北京冬奥会顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 64种 D. 81种 14. 以下说法正确的是（ ） A. 各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C. 各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥 D. 底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 15. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（ ）． A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 16. 与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 A. 有且只有1个 B. 有且只有2个 C. 有且只有3个 D. 有无数个 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 17. 已知正四棱柱中，. （1）求正四棱柱的表面积； （2）求证：平面平面． 18. 四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，求到平面距离． 19. 如图，点在圆柱的底面圆周上，为圆的直径，圆柱的侧面积为，，． （1）求圆柱体积； （2）求直线与平面所成的角的大小． 20. 如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且． （Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F–AE–P余弦值； （Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． 21. 如图，在中，，斜边是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且． （1）求圆锥的表面积； （2）若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离； （3）若一个棱长为正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海南汇中学2023学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 用集合符号表示直线l在平面上______ 【答案】 【解析】 【分析】直线l在平面上，利用集合与集合的关系符合表示即可. 【详解】直线l在平面上，即直线l包含于平面，利用集合与集合的关系表示为. 故答案为： 2. 设空间两个角与，若它们的两边分别平行，，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据等角定理即可得解. 【详解】因为空间两个角与的两边分别平行， 所以或， 所以或. 故答案为：或. 3. 已知空间向量，且与垂直，则等于______. 【答案】4 【解析】 【分析】由与垂直，得到，由此能求出的值. 【详解】因为，且与垂直， 所以，解得， 故答案为：4 4. 将画在水平放置的平面上得到，如果是斜边等于的等腰直角三角形，则的面积等于____． 【答