专项训练六含30°角的直角三角形的性质的应用-【勤径千里马】2023-2024学年八年级上册数学走向假期（人教版，黑龙江专版）

专项训练四 与等腰三角形有关的分类讨论 (2)解：BN=CD.理由如下： 在Rt△CDE中，∠CDE=30°,∴CD=2CE. ∵ED=EC,∴∠D=∠ECD. ∵∠DEB=60?-∠D,∠ECF=60°-∠ECD, ∴∠DEB=∠ECF. 1. D {6<co,连接ND.在△AND和△ACD中， ∴△AND≌△ACD(SAS),∴DN=DC,∠AND=∠ACD. ∵∠ACB=2∠B,∴∠AND=2∠B. 在△BND中，∠AND=∠B+∠NDB, 又∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC=∠DCA. 2.16 或 17 ∴AD=CD.∴AD=2CE. 在△DBE和△EFC中， ∴△DBE≌△EFC(SAS), ∴DB=EF,则AE=DB. 3.解：若设这个等腰三角形的腰长为xcm,底边长为ycm,可 ∵CE⊥AE,CB⊥AB,AC平分∠BAD, [x+÷x=9,[ ∴BC=CE.∴AD=2BC. 解得{=9或=8.得 或 \2+y=12 即当腰长是6cm时，底边长是9cm; 当腰长是8cm时，底边长是5cm. 6.解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠BAD=60°,AB=AC. rAB=CA, 在△ABD和△CAE中，{-d, ∴△ABD≌△CAE(SAS),∴∠ABD=∠CAE. ∵∠BPE=∠ABD+∠BAP, ∴∠BPE=∠CAE+∠BAP=∠BAC=60°. ∴∠B=∠NDB∴BN=DN,∴BN=CD. B/ C(3)点E在AB的延长线上时，如答 D< 图，同理可得△DBE≌△EFC, 4.证明：如答图，连接BD,CD. ∵AD是∠FAE的平分线， 4.解：依题意可画出如答图①和如答图②两种情形. DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF. D ∴DB=EF=2,BC=1, 则CD=BC+DB=3. E F答图①中顶角为45°,答图②中顶角为135°. 5题答图∵DG是 BC的垂直平分线， G 6.1 000 m∴BD=CD,R A BE (2)∵BF⊥AE,∠BPE=60°, ∴∠PBF=30°,∴PF=÷BP. 7.解：(1)如答图①,作线段AB的垂直平分线交直线l于点∴Rt△BDE≌Rt△CDF, 4 题答图 M,此时 MA=MB.D ∴BE=CF.cB- BC 5.证明：易证△ABE≌△CAD,∠CAD=∠ABE, 专项训练七 图形的轴对称4 题答图① 4 题答图② ∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°. 在Rt△BPQ中，∠PBQ=30°,∠PQB=90°,∴BP=2PQ. 专项训练六 含30°角的直角三角形的性质的应用 1.解：如答图，分别作点P关于OM,ON的对称点P,P?,连 接P?P?交OM于点A,ON于点B,则△PAB为符合条件的 三角形. E A5.解：按照题意可画出如答图①和如答图②两种情况的示意 图.如答图①,当交点在腰AC上时，△ABC是锐角三角形， 此时可求得∠A=40°, ∴∠B=∠C=÷×(180°-40°)=70°; 如答图②,当交点在腰CA的延长线上时， B A 1.解：如答图，连接AD. ∵AB=AC,D为BC的中点， ∵∠MON=40°,∴∠P?PP?=140°. ∵∠P?PA=÷∠PAB,∠P?PB=÷∠PBA, MP ∴÷(∠PMB+∠PBA)+∠APB=140°, P ∴∠PAB+∠PBA+2∠APB=280°. ∵∠PAB=∠P?+∠P?PA, 0= -NB∠PBA=∠P?+∠P?PB, M’ -! ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠∠BAC=2×120°=60° 在Rt△ADE中，∵∠CAD=60°, ∴∠ADE=90?-∠CAD=90?-60?=30°. ∴AD=2AE=2×8=16. 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°∴AC=2AD=2×16=32. ∴CE=AC-AE=32-8=24. M △ABC 为钝角三角形，此时可求得∠BAC=140°, ∴∠B=∠C=÷×(180~-140)=20° 故这个等腰三角形的底角为70°或20°. F B' 7 题答图① 7 题答图② (2)如答图②,作点B关于直线l的对称点B',连接AB'与 直线l交于点M,此时AM+BM 最小. 8.解：如答图，作AF⊥CD,且AF等于河宽，作BG⊥CE,且BG (p?∠P?+∠P?+∠P?PP?=180°, 1题答图∴∠APB=100° 等于河宽，连接GF,与河岸相交于E',D'.作DD',EE',即 为桥.R F 2.解：满足条件的点D的坐标有3个，点D的坐标为(4,-1) 理由：由作图法可知AF//DD', .AB C D D;FB2 C 或(-1,-1)或(-1,3). AF=DD',E 5 题答图① 5 题答图②