精品解析：湖南省长沙外国语学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

长沙外国语学校2023年高二上学期第一次月考试卷 数 学 命题人：杨南强 审题人：文新 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C D. 4. 两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 斜交 C. 平行 D. 重合 5. 下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ） A B. C. D. 6. 已知圆锥的母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 已知复数(为虚数单位)，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有（ ） A. 在复平面内对应的点位于第二象限 B. C. 的实部为 D. 的虚部为 10. 关于函数有下列说法，其中正确说法的是（ ） A. 最大值为 B. 是以为最小正周期的周期函数 C. 在区间上单调递减 D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，将与的图象重合 11. 若，，，则事件与的关系错误是（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与相互独立 D. 事件与既互斥又独立 12. 已知正三棱柱的所有棱长均相等，D，E分别是的中点，点P满足，下列选项正确的是（ ） A. 当时，为锐角 B. 当时， C. 当时，有且仅有一个点P，使得 D. 当时，∥平面 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知平面向量，若，则__________. 14. 已知点，则直线的倾斜角是______． 15. 设，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和的夹角等于______． 16. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______． 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知的三个顶点是，求： （1）边所在的直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程． 18. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 19. 在中，A，B，C的对边分别为，若满足，． （1）若，求的大小； （2）若满足，求及的值． 20. 某市对该市全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试，统计人员从A校随机抽取了300名学生，从B校随机抽取了400名学生，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[50，100]内，并将收集到的数据按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，绘制成频率分布直方图，如图所示. （1）估计A校这300名学生成绩的75%分位数; （2）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A校抽取的300名学生成绩的平均值为μ1，B校抽取的400名学生成绩的平均值为μ2，以及A，B两校抽取的700名学生成绩的平均值为μ0，试比较μ0和的大小. 21. 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）． （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面 （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小． 22. 对于函数，若存在实数，使得成立，则x0称为f（x）的“不动点”． （1）设函数，求的不动点； （2）设函数，若对于任意实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）设函数定义在上，证明：若存在唯一的不动点，则也存在唯一的不动点． 第1