5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第1课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5 三角恒等变换 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 问题导学（5分钟） 思考1：如何用α，β的正弦、余弦来表示 cos(α－β) ? 思考2：你认为会是 cos(α－β)=cosα－cosβ 吗? 请阅读课本P215-216,并思考下列问题： 点拨精讲（22分钟） 探究cos(α－β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系？ x y O α终边 A(1,0) P1 P A1 β终边 α-β终边 如图，在直角坐标平面xOy内作单位圆O，并作出角α、β和α–β. 由圆的旋转对称性知：A1P1=AP “形” “数” （α≠2kπ+β.k∈Z） A1 (cos β, sin β) P (cos(α-β), sin(α-β)) A (1, 0) P1 (cosα, sinα) 各点坐标： 在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x y O . . P1(x1, y1) P2(x2, y2) M1(x1, 0) M2(x2, 0) N1(0, y1) N2(0, y2) Q P1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃， 由勾股定理，可得 P1P22=P1Q2+QP22 =(x1–x2)2+(y1–y2)2, =┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2 ∟ ∟ ∟ ∟ ∟ 由此得到平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式： P1P2= 4 根据两点间距离公式，结合A1P1＝AP，有： 整理得 ． 请你借助以上“两点间的距离公式”，结合以上“数”与“形”的探究，你能得到什么结论？ 两点间距离公式： （α≠2kπ+β.k∈Z） P (cos(α-β), sin(α-β)) A (1, 0) P1 (cosα, sinα) A1 (cos β, sin β) 数 A1P1＝AP 形 当α，β终边重合时，cos α＝cos β，sin α＝sin β ． 此时等式（*）左侧＝cos2kπ＝1，右侧＝sin2α＋cos2α＝1， 两侧的值相等，因此上述结论仍然成立． 新知探究 思考：如果两个任意角终边重合 ， 上述结论成立吗？ （α＝2kπ+β.k∈Z） 两角差的余弦公式 简记作 例1、利用公式C（α－β）证明、求值： 证明： 课本p217练习1（1） 练习1、证明： ∴左边＝右边，得证 证明： 课本p217练习4 本课时出现过的哪些性质、公式、定理，它们之间具有怎样的推出关系？叙述公式 ，你在使用公式解决问题时有哪些心得体会？此外你还有哪些感悟？ 课堂小结（2分钟） 1、使用公式 时，由于α，β均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、负角等等． 2、cos(α－β)需要sin α，cos α，sin β，cos β四个值齐备时方可算出，缺一不可，若有所缺，往往可以借助同角三角关系算出所缺的数值． 3、公式 中含有两个任意角，是诱导公式更上位的公式，可以推导出诱导公式. 4、先从“数”的角度出发，再从“形”的角度考虑，最后融合“数”与“形”，似乎是一种探究数形关系的有效策略． 1、化简、求值： (1) cos75° 当堂检测（15分钟） 金版p144 例2（1） 金版p144 、145 课本p217练习3 课本p217练习5 5、 选做 （2） 4、 金版p145 例3 1、化简、求值： (1) cos75° （2） （2） 3、 4、 5、 5.5 三角恒等变换 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 问题导学（5分钟） 你能从公式C(α－β) 出发，推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 请阅读课本P217-219,并思考下列问题： cos(α＋β)=? sin(α＋β)=? sin(α－β)=? tan(α＋β)=? tan(α－β)=? 点拨精讲（22分钟） 思考1：你能依据α＋β与α－β之间的联系，利用公式C(α－β) ，推导出两角和的余弦公式cos(α＋β)吗？ 比较cos(α＋β)与cos(α－β) α＋β=α－(－β) 将公式C(α－β)中的β替换为－β，可得: cos(α＋β)=cos［α－(－β)］ =cosαcos(－β)+sinαsin(－β)