1.3 正方形的性质与判定 同步练习 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定 一、选择题 1. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（       ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（       ）     A．①：一组邻边互相垂直 B．②：对角线相等 C．③：对角线互相垂直 D．④：有一个角是直角 3. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（       ）     A． B． C．3 D． 4. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（       ）     A． B． C． D． 5. 如图，是正方形内一点，是等边三角形，是对角线上一点，连接，，若，则的最小值为（       ）     A．1 B．2 C． D． 6. 正方形，，按如图的方式放置，和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（       ）     A． B． C． D． 7. 如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．给出下列结论：①；②；③；④正方形面积是四边形的面积为的4倍．其中正确的是（       ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 8. 如图，正方形中，，与直线l的夹角为30°，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点A，作正方形，…，依此规律，则＝（　　） A． B． C． D． 9. 如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（       ）     A． B． C． D． 10. 已知，如图，正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E，F不与线段，的端点重合）且，连接，，．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①始终是等腰直角三角形； ②面积的最小值是； ③至少存在一个．使得的周长是； ④四边形的面积始终是1． 所有正确结论的序号是（       ）     A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④ 11. 如图，在正方形中，点M是上一点，点E是的中点，绕点E顺时针旋转得到，连接，．则的度数为（　　） A． B． C． D． 12. 在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13. 如图，P为正方形内一点，从①；②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为 _____个． 14. 如图．五个边长为1的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接，两个顶点，过顶点作，垂足为，“十字”形被分割成了①，②，③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，则这个矩形的对角线长为________．     15. 如图在四边形中，，，； （1）的长为______； （2）点P从点B出发，以每秒3个单位的速度在射线上运动，连接，当以点A、P、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是_______．     16. 如图，在正方形中，点H是的中点，点P是对角线上的一点（不与端点重合），过P作于E，于F，连接，若，则的最小值为______．     三、解答题 17. 如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长．     18. 如图，四边形是正方形，点G是边上任意一点，于点，且交于点F．     (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，连接、，判断线段与的位置关系并证明． 19. 有公共顶点A的正方形与正方形按如图1所示放置，点E，F分别在边和上，连接，点M是的中点，连接交于点N．     (1)【观察猜想】线段与之间的数量关系是         ，位置关系是         ； (2)【探究证明】将图1中的正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由． (3)若正方形的边长为m，将其沿翻折，点D的对应点G恰好落在边上，有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由． 20. 已知：正方形．     (1)如图1，点、点分别在边和上，且．此时，线段、的关系是______； (2)如图2，等腰直角三角形绕直角顶点顺时针旋转，当时，连接、，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)如图3，等腰直角三角形绕直角顶点顺时针旋转，当时，连接、，