精品解析：上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

同济二附中2023学年第一学期高三年级数学期中2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知复数满足（为虚数单位），则___________. 2. 直径为4的球的表面积为______. 3. 抛物线的准线方程是_______ 4. 若，则的最小值是______． 5. 的展开式中项的系数为______. 6. 在中，若，，，则_________. 7. 已知函数是定义在上且周期为的偶函数,当时，则的值为__________. 8. 已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 _____． 9. 若等比数列的前项和为，且满足，则数列的通项公式______. 10. 正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点（与四点不重合），且，则的取值范围为______. 11. 设集合， ，若，则实数的取值范围是_________. 12. 已知定义在R上的偶函数满足.若，且在单调递增，则满足的x的取值范围是__________. 二、选择题（本题满分18分，共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线在平面内，直线不在平面内，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件又非必要条 15. 已知函数，则以下正确的个数有（ ） （1）有两个极值点；（2）驻点为和；（3）有3个零点；（4）直线是曲线的切线. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 16. 如图所示，将一圆八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角是16个顶点的向量都写成，的形式，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本题满分78分，共5小题） 17. 如图，在四棱锥中，面，，，点分别为中点，，. （1）证明：直线平面； （2）求二面角余弦值. 18 已知等差数列满足：. （1）求数列的通项公式及前项和为； （2）求. 19. 如图，某市在两条直线公路上修建地铁站和，为了方便市民出行，要求公园到的距离为.设. （1）试求的长度关于的函数关系式； （2）问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离. 20. 已知双曲线，经过点的直线与该双曲线交于两点. （1）若与轴垂直，且，求的值； （2）若，且的横坐标之和为，证明：. （3）设直线与轴交于点，求证：为定值. 21. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同济二附中2023学年第一学期高三年级数学期中2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知复数满足（为虚数单位），则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出，再根据复数模求法即可求解. 【详解】，所以. 故答案为： 2. 直径为4的球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用球的表面积公式计算即可. 【详解】由题意可知该球表面积为. 故答案为： 3. 抛物线的准线方程是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上， 所以：，即，所以， 所以准线方程为：， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目. 4. 若，则最小值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】配凑出和分母相同的，再用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当时，取到等号. 故答案为:3 5. 的展开式中项的系数为______. 【答案】210 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以， 故答案为:210. 6. 在中，若，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】 由内角和求得，然后由正弦定理求得． 【详解】， 由正弦定理得，所以. 故答案为：． 7. 已知函数是定义在上且周期为的偶函数,当时，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意知，，又，所以，故填. 8. 已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率