专题15 直线与圆（思维导图+知识梳理+方法技巧+易混易错）-【口袋书】2024年高考数学一轮复习知识清单（新高考专用）

专题15 直线与圆 一、知识速览 二、考点速览 知识点1 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. （2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2、直线的斜率 （1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率． （2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点2 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4、直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 知识点3 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 2、圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外