3.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 3 章圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 焦点在x轴的双曲线x2项系数为正. 焦点在y轴的双曲线y2项系数为正. 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 c2-a2=b2 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 x F1 F2 y O M(x,y) x y O M(x,y) F1 F2 复习 2 问题1.类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质?如何研究这些性质? x F1 F2 y O M(x,y) F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 与利用椭圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质，包括双曲线的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 3 F1 F2 O x y x=-a x=a • • 问题2.类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a,纵坐标的范围是y∈R。如何利用双曲线的方程求出它的范围呢？ 4 问题3.你可以类比研究椭圆 的对称性的方法，得到双曲线 的对称性吗？ 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． F1 F2 O x y A1(x,y) A3(-x,y) A4(-x,-y) A2(x,-y) 但我们也把 这两点画在y轴上 F1 F2 O 26 y • • A1 • 说明它与x轴有两个交点, 坐标分别为 B1(0,-b), B2(0,-b) A1(－a,0), A2(a,0). 说明它与y轴没有交点, 线段A1A2, B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴， 它们的长分别等于2a,2b. a和b分别叫做椭圆的实半轴长和虚半轴长. A2 • B1 • B2 • 2a 2b 问题4.类比椭圆求顶点的方法,双曲线有几个顶点?顶点的坐标呢? 它们叫做双曲线的顶点. 6 双曲线的两支向外延伸时，与矩形的两条对角线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 问题5.如图，直线x=a和直线y=b 围成了一个矩形，矩形的两条对角线的方程是什么？ x O A1 y A2 B1 B2 F2 F1 x O A1 y A2 B1 B2 F2 F1 在方程 中，如果a=b，那么双曲线的方程为x2-y2=a2，它的实轴和虚轴的长都等于2a. 这时，四条直线x =±a，y =±b围成正方形，渐近线方程为 y=±x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角. 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 与椭圆类似，双曲线的焦距与长轴长的比 称为双曲线的离心率. 追问1.双曲线的离心率的取值范围是什么？ 因为c>a>0，所以双曲线的离心率 追问2.椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征? 追问3.等轴双曲线的离心率是多少？ 9 焦点位置 x轴 y轴 方程 图形 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 x F1 F2 y O M(x,y) x y O M(x,y) F1 F2 例1. 求双曲线9y2–16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程. 解： 把双曲线的方程9y2–16x2 =144化为标准方程 11 练习1.（课本124页1）求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 12 解： 练习1.（课本124页1）求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 13 解： 解： 练习 14 解： 练习 15 解： 练习 16 $$