精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期期中测验数学试题

北师大实验中学2023-2024学年第一学期期中测验 高一数学 2023年11月 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 10 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表 x 1 2 3 4 y 1.21 3.79 10.28 以下说法中错误是（ ） A. B. 当时， C. 函数有且仅有一个零点 D. 函数可能无零点 8. 已知是定义在上的函数，那么“存在实数，使得对任意总有”是“函数存在最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ） A. B. C. D. 10. 将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第行的所有数的和为（，2，3，4，5），为，，，，中的最小值，则m的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知命题p：，，则：______. 12. 已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题一组a，b，c的值是______. 13. 函数的图象的对称中心是______，不等式的解集是______. 14. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，，，，则t的取值范围是______，若，则______. 15. 已知函数的定义域为，且满足下列条件： （1）对任意的，总有，且； （2）若，，，则有. 给出下列四个结论： ①； ②可能为区间中的任意值； ③函数的最大值是4； ④当时，. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程. 16. 已知是上的奇函数，当时，.现已作出函数在y轴右侧的图象，如图所示. （1）请根据条件，将函数的图象补充完整，并直接写出函数的表达式； （2）写出函数单调区间，并利用单调性的定义证明函数在上单调递减； （3）直接写出不等式的解集. 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）请在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得至少存在一个实数a满足该条件，并求出a的范围. ①；②；③ 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知关于，的方程组其中. （1）当时，求该方程组的解； （2）证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解； （3）记该方程组两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由. 19. 某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量t（万件）与广告费用x（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为19万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入12万元.另外，厂家每年还需投入30万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. （1）求k的值； （2）试求该厂家的年总成本y（万元）与广告费用x（万元）之间的函数关系式； （3）假定年生产成本为生产投入费用、维护投入费用的和.若每件产品的售价定为产品的年平均生产成本的2倍，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润最高? 20. 已知函数，. （1）证明：当时，是奇函数； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若对任意，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围. 21. 对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定. （1