专题10 抛物线及其方程（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题10 抛物线及其方程 考点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 考点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 考点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 重难点题型突破1 抛物线的定义及应用 例1．(1) 、（2020·福建省莆田市高三质检）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为（ ） A．2 B． C． D．4 （2）、（23·24上·常州·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式训练1-1】、（23·24上·赣州·期中）已知是抛物线：的焦点，A是上的一点，若，则A的纵坐标为 . 【变式训练1-2】．（河南省安阳一中2019届期末）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________． 重难点题型突破2 抛物线的几何性质 例2．（1）、（22·23上·宜春·期末）已知抛物线：，则抛物线的焦点坐标为 ． （2）、（23·24上·银川·期中）如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． （3）、（22·23上·丰台·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练2-1】、（23·24上·台州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程为 . 【变式训练2-2】、（22·23上·贵阳·期中）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（    ） A．6 B．2 C．5 D．8 【变式训练2-3】、（2022·安徽蚌埠·一模）已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 重难点题型突破3 求抛物线的标准