3.2.2 双曲线的简单的几何性质（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2 双曲线的简单的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 重难点题型突破一 求双曲线的标准方程 例1．（1）、（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）、（2021秋·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）若方程表示双曲线，则的取值范围是 ． 【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面.由于有良好的稳定性和漂亮的外观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔.已知某发电厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150m，塔顶直径为80m，塔的最小直径（喉部直径）为60 m，喉部标高（标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离）为110 m，则该双曲线的离心率约为（精确到0.01）（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2023秋·江西吉安·高二宁冈中学校考期中）（多选题）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为2 B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则 C．若是双曲线C的一个焦点，则 D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2 重难点题型突破二 双曲线的简单的几何性质 例2．（1）、（2023秋·河南焦作·高二校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率e为 . （2）、（2023秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期中）（多选题）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．点的坐标为 C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为4 【变式训练2-1】、（2023秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为为右支上一点，，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为 . 【变式训练2-2】、（2023·全国·高二专题练习）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破三 定点与定值问题 例3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为. (1)求C的方程； (2)证明：为定值. 【变式训练3-1】、（2023秋·河北保定·高三校联考阶段练习）已知双曲线过点和点． (1)求双曲线的离心率； (2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由． 重难点题型突破四 范围与最值问题 例4．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知双曲线过点，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线交双曲线于点，，直线，分别交直线于点，，求的值. 【变式训练4-1】、（2023春·浙江·高二校联考开学考试）已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点    (1)求双曲线的标准方程． (2)如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值． 重难点题型突破五 冲刺满分 例5．（1）、（2023·广东广州·统考模拟预测）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）、（2023春·安徽·高二马鞍山二中校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点