专题01 空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题01 空间几何体的外接球与内切球问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 3 题型一：内切球等体积法 3 题型二：内切球独立截面法 3 题型三：外接球公式法 4 题型四：外接球补型法 4 题型五：外接球单面定球心法 5 题型六：外接球双面定球心法 6 三、专项训练 7 一、必备秘籍 1．球与多面体的接、切 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 类型一 球的内切问题（等体积法） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 类型二 球的外接问题 1、公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2、补形法（补长方体或正方体） ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 3、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 4、双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 二、典型题型 题型一：内切球等体积法 1．（22·23·全国·专题练习）正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　） A．1：3 B．1： C． D． 2．（22·23下·朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ． 3．（23·24上·萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为 . 4．（22·23上·张家口·期中）球O为正四面体的内切球，，是球O的直径，点M在正四面体的表面运动，则的最大值为 ． 5．（22·23上·河南·阶段练习）已知正四面体的棱长为12，球内切于正四面体是球上关于球心对称的两个点，则的最大值为 . 6．（22·23上·扬州·期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为 ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为 ． 题型二：内切球独立截面法 1．（23·24上·淮安·开学考试）球是圆锥的内切球，若球的半径为，则圆锥体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22·23下·咸宁·期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（    ）    A． B． C．2 D． 3．（22·23·全国·专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 . 4．（23·24上·佛山·开学考试）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为 ． 5．（22·23下·成都·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为 . 题型三：外接球公式法 1．（16·17·全国·单元测试）若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 2．（22·23·全国·专题练习）设球是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球的截面，则最小截面的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（14·15上·佛山·阶段练习）正方体的外接球（正方体的八个顶点都在球面上）与其内切球（正方体的六个面都与球相切）的体积之比是 ． 题型四：外接球补型法 1．（23·24上·成都·开学考试）在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22·23下·揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则