精品解析：上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023学年度第一学期期中高二数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应位置填写结果． 1 用集合符号表述语句“平面经过直线”：______. 2. 椭圆的焦点坐标为________. 3. 双曲线的渐近线方程________． 4. 圆的过点的切线方程为_____________. 5. 已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则________． 6. 如图是水平放置的的斜二测直观图，其中，，则在中，__________. 7. 已知所在平面外一点，且两两垂直，则点在平面内的射影应为的___________心. 8. 在正方体中，为面的中心，则平面与平面的交线为______. 9. 已知圆的圆心为，则点到直线（为参数）的距离为_______. 10. 设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则________ 11. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，，，点是上的一个动点，则的面积的最小值为________. 12. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似“伯努利双纽线”，在平面直角坐标系中，到两定点，的距离之积等于的点的轨迹C就是一条伯努利双纽线．已知点是双纽线C上的一点，下列说法中正确的序号是______． ①双纽线C关于x轴、y轴对称； ②双纽线C上满足的点P有两个； ③； ④的最大值为． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 A. 4 B. C. D. 14. 设是平面外的两条直线，且，那么是的（ ）条件 A 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 15. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 16. 已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）． A B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 在正方体中，是的中点. （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求直线与平面所成的角的大小. 18. 如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. （1）求证:平面; （2）若,求到平面距离. 19. 某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度. （1）以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程； （2）若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？ 20. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线、，其中A、B为切点，设直线、的斜率分别为、． （1）求抛物线的标准方程； （2）若点P的纵坐标为1，计算的值； （3）求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 21. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率为，证明：为定值； （3）过点作直线垂直于直线，在上任取一点，对于（2）中的两点，试证明：直线的斜率成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年度第一学期期中高二数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应位置填写结果． 1. 用集合符号表述语句“平面经过直线”：______. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面关系可得结果. 【详解】因为平面经过直线AC，则. 故答案为：. 2. 椭圆的焦点坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过椭圆的方程可判断焦点在轴上，并由计算即可得出结论. 【详解】椭圆，则，则椭圆的焦点在轴上，，所以焦