专题04 圆中的重要模型之圆中的翻折模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题04 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 知识储备： 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA 特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60° 例1．（2022秋·福建莆田·九年级校考期末）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·广东广州·统考一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于(    )． A． B． C． D． 例3．（2023·河北保定·统考一模）如图，已知是的直径，且，是上一点，将弧沿直线翻折，使翻折后的圆弧恰好经过圆心，则（1）的长是 ．（2）劣弧的长是 ． 例4．（2022春·湖北荆州·九年级专题练习）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 例5．（2023·河南商丘·统考二模）如图，在扇形中，，点C，D分别是和上的点，且，将扇形沿翻折，翻折后的恰好经过点O．若，则图中阴影部分的面积是 ．    例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　） ①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB A．1 B．2 C．3 D．4 例7．（2022秋·山东九年级课时练习）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 例8．（2023春·江苏盐城·八年级校考期末）如图，是半径为2的的弦，将沿着弦折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接，．则的最小值为 ． 例9．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的． 验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，∴， 由折叠知，，连接，在中，， 根据勾股定理得，， ∴， 通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的． 请同学们进一步研究以下问题： (1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）． 课后专项训练 1．（2023·湖北武汉·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（　　） A． B．2 C． D． 2．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为(   )    A． B． C．5 D． 3．（2023·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC=36°，则∠DCE的度数是（     ） A．24 B．27 C．30 D．33 4．（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·湖北十堰·九年级统考期中）⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB于E，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（  ） A． B．或 C． D．或 6．（2023·广东广州·校考二模）如图,AB为O直径,点C为圆上一点,将劣弧ACˆ沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD,若点