专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED. 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2023·重庆渝北·九年级统考期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例3．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，是等腰直角三角形，，直线过点，，，垂足分别为，．求证：； [尝试应用]（2）如图2，，，，，三点共线，，，，．求的长；[拓展创新]（3）如图3，在中，，点，分别在，上，，，若，直接写出的值为 ． 例4．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且，与相似吗？请说明理由. （2）模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且.①如图2，当点在线段上时，求的值； ②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比. 例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料： 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：． （1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由． （2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上—个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，．若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长．           例6．（2023·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于． ①求证：；②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 例7．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.    (1)设，的余切值为，求关于的函数解析式； (2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； (3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 课后专项训练 1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形的边上，且，若，则的长为（    ）    A．12 B．13 C．14 D．15 2．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误