空间直线、平面的平行 讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

空间直线、平面的平行 【一】“平行关系”常见证明方法 1.1 直线与直线平行的证明 1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等 1.1.2 利用三角形中位线性质 1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 ( b α β ) 1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 1.1.8 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 1.2 直线与平面平行的证明 1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 ( β α a ) 1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 1.3 平面与平面平行的证明 1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ( P ) 1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点 ( 题组一 三角形中位线 ) 1．如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，E为的中点，求证：平面 2. 如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点， 求证：平面ABC 3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面 ( 题组二 构造平行四边形 ) 1． 如图，在直三棱柱中，分别是，的中点，求证：平面 2．在正方体中，分别是和的中点.求证： (1)平面. (2)平面平面. 3．如图，在正方体中，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． ( 题组三 等比例 ) 1．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证： (1)平面平面BCE； (2)平面BCE. 2．（2022·福建省）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，，在线段上，且，证明：平面 ( 题组四 线面平行的性质 ) 1．（2022·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求证：. 2．（2022云南）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF (1)证明:AF//平面BDG (2)证明:AB//EF ( 题组五 面面平行的性质 ) 1．如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB，的中点，求证：PN∥面ACC1A1 2．（2022·山东淄博·高一期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，证明：直线平面 ( 题组六 线面垂直的性质 ) 1．（2022·广东揭阳）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.证明：面 2． （2022·河南·三模）多面体ABCDE中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点. 求证：平面ECD 3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体中四边形是正方形，平面，平面，.证明：平面平面. 空间直线、平面的平行答案 ( 题组一 三角形中位线 ) 1．【解析】证明：∵四边形为正方形，∴O为的中点，∵E为的中点，∴，又∵平面平面，∴平面； 2【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面. 3． 【解析】证明：设，连接，因为分别为中点，所以//，平面，平面，所以//平面． ( 题组二 构造平行四边形 ) 1．【解析】证明：在直三棱柱中，分别是的中点， 取的中点，连接，所以. 因为，所以， 所以四边形 是平行四边形，所以 . 因为平面 平面，所以平面. 2． 【解析】（1）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点，又因为为中点，所以. 因为平面平面，所以平面， （2） 连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点.又因为为中点，所以.因为平面平面所以