空间直线、平面的垂直 讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

空间直线、平面的垂直 【二】“垂直关系”常见证明方法[来源:Zxxk.Com] 2.1直线与直线垂直的证明 2.1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。 2.1.2 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 2.1.3 利用直线与平面垂直的性质： 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 ( α b ) 2.1.4 利用平面与平面垂直的性质推论： 如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。 ( b β α ) 2.1.5 利用常用结论： 1 ( c )如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。 ( b ) 2 ( b )如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。 ( α ) 2.2 直线与平面垂直的证明 2.2.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面 等 2.2.2 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 2.2.3 利用直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。 2.2.4 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 2.2.5 利用常用结论： 1 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。 2 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。 2.3 平面与平面垂直的证明 2.3.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等 2.3.2 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。 2.3.3 利用平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 ( 题组一 线线垂直 ) 1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明： 2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC． (1)若D是BC的中点，求证：； (2)过侧面的对角线的平面交侧棱于M， 若，求证：截面侧面． 3．（2022·四川成都）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，． (1)求证：； (2)求到平面的距离． ( 题组二 线面垂直 ) 1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面为菱形，求证：平面. 2．（2022·广西钦州）如图，在三棱锥V—ABC中，M，N分别为的棱VA，VB的中点，，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC． (1)求证：AB//平面CMN； (2)求证：AB⊥平面VBC． 3．（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明： (1)平面PDC； (2)PB⊥平面DEF. ( 题组三 面面垂直 ) 1．（2022·四川省内江市第六中学）如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求几何体的体积 2．（2022·福建龙岩）如图，平行四边形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点，为线段的中点，，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 3．（2022·辽宁）如图，在直四棱柱中，四边形为菱形，且为棱上的一个动点.已知. (1)当点为的中点时，证明：平面； (2)若平面平面，求的长. 空间直线、平面的垂直答案 ( 题组一 线线垂直 ) 1．【解析】连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以. 2．【解析】(1)证明：∵，D是BC中点，∴， ∵底面侧面，交线为BC，∴侧面，又∵侧面，∴； (2)证明：取中点E，连接DE，ME， 在中，D，E分别是BC，的中点，∴且 又且，∴且， ∵，∴且，∴四边形AMED是平行四边形，∴， 由（1）知面，∴侧面，又∵面，∴面侧面． 3．【解析】(1)因为在底面内的射影为，所以面面， 又因为，面面，面 所以面， 又因面因此，同理， 又,面,面，所以面， 又面,所以， 连接，易得，，又，故， 又,面,面，因此面， 又面，即； (2