函数奇偶性 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数奇偶性 类别 偶函数 奇函数 图象特征 函数图象关于y轴对称 函数图像关于原点对称 定义 1.定义域关于原点对称； 2.f(-x)=f(x) 1.定义域关于原点对称； 2.f(-x)=-f(x) 注意：若0在定义域，则f(0)=0； 判断函数奇偶性的方法：1. 2. ； 判断奇偶性的步骤（定义法）： 题型一：判断函数的奇偶性 例1：判断下列函数的奇偶性（用定义法） （1） （2） （2） （4) （6） (7) (8) (9) 题型二：已知函数奇偶性，求参数、求函数值、求解析式 （1）求参数 例2：若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a−1,2a],求a,b的值. 变式1：已知f(x)=ax2+bx是定义在[a−1,2a]上的偶函数，那么a+b的值是____________. 变式2：已知f(x)=−ax3+b是定义在[−3a,3a2−6]上的奇函数，那么a−b的值是_________. 例3：若函数f(x)=ax2+2x是奇函数，求a值. 变式1：若函数f(x)=(x+a)(x−4)是偶函数，求a的值; 变式2：若函数f(x)=(x+a)(x+1)/x是奇函数，求a的值. （2）求函数值 例4：已知f(x)=x4−3x2(a,b∈R)，f(m)=5,则f(−m)=_________. 变式1：已知f(x)=ax3−bx(a,b∈R)，f(m)=5,则f(−m)=_________. 变式2：已知f(x)=ax3−bx+4(a,b∈R)，f(m)=5,则f(−m)=_________. 变式3：已知f(x)=ax5+bx3+x−8(a,b∈R)，f(−2)=10,则f(2)=_________. （3）求解析式 例5：已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)=x(x−1),则当x>0时, 求此时f(x)的解析式. 变式1：已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f(x)=x(x+1), 则f(x)在R上的解析式为_________. 题型三：抽象函数奇偶性的证明 例6：已知函数f(x)为R上的函数，且对于任意实数a,b，都有f(a+b)=f(a)+f(b), 求证f(x)为奇函数. 变式1：已知函数G(x)是R上的函数，且G(x)=f(x)−f(−x),则G(x)为_________.(奇函数、偶函数) 题型四：函数奇偶性与单调性综合 偶函数在对称区间上单调性相反 奇函数在对称区间上单调性相同 例7：已知f(x)是偶函数且在(0，+∞)上单调递减，则f(−1)____f(−2) 例8：若对于任意实数x 总有f(−x)=f(x),且f(x)在区间(−∞，−1]上是增函数，请比较f()、f(−1)、f(2)的大小 例9：已知定义在[−2，2]的函数f(x)在区间[−2，2]上是减函数，若f(1−m)<f(m),求实数m的取值范围. 变式1：已知定义在[−2，2]的偶函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1−m)<f(m),求实数m的取值范围. 变式2：已知定义在[−2，2]的奇函数f(x)是减函数，若f(m−1)+f(1−2m)>0,求实数m的取值范围. 题型五：利用函数奇偶性，求抽象函数函数值 例10：已知函数f(x)，g(x)满足，f(x)=2g(x)+1,且g(x)为R上的奇函数，f(-1)=8,求f(1)=? 变式1：已知定义在R的奇函数f(x)，f(1)=0.5, f(x+2)=f(x)+f(2),求f(5)=? 学科网（北京）股份有限公司 $$