北京市北京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期数学期中考试数学试题

北师大附属实验中学2023—2024学年度第一学期期中试卷 高二年级数学 班级______姓名______学号______成绩______ 考 1．本试卷共4页，共五道大题，24道小题，答题卡共8页，满分150分，考试时间120分钟． 生 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 须 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 知 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 命题人：黎宁 张涛 唐娟 审题人：黎栋材 第Ⅰ卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为 A B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．则与分别等于（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 设椭圆的两个焦点为，，过点的直线交椭圆于A、B两点，如果，那么的值为（ ） A. 2 B. 10 C. 12 D. 14 6. 抛物线上点与其焦点的距离的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 7. 若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，点P为棱中点，点Q为面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 经过点，的直线与直线垂直，则______． 10. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则______． 11. 已知两圆：和：相交，则圆与圆的公共弦所在直线的方程为______． 12. 设分别是空间两直线的方向向量，则直线所成角的大小为______． 13. 已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______． 14. 设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_________． 三、解答题（本大题共3小题，共30分） 15. 已知的三个顶点，，，求经过两边AB和AC的中点的直线的方程． 16. 已知直线l：与圆C：． （1）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （2）当时，直线l与圆C交于点E，F，设O为原点，求的面积． 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成的角的余弦值． 第П卷（共50分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 18. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，若，，，四点共面，则______． 19. 已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于，两点．若点是线段的中点，则双曲线的离心率为______． 20. 如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和距离相等，则的最小值是____． 21. 在平面直角坐标系中，到两个点和的距离之积等于4的轨迹记作曲线，对于曲线及其上一点P，有下列四个结论： ①曲线关于x轴对称； ②曲线上有且仅有一点P，满足； ③曲线上所有的点的横坐标，纵坐标； ④的取值范围是． 其中，所有正确结论的序号是______． 五、解答题（本大题共3小题，共34分） 22. 如图，直四棱柱中，底面是边长为1正方形，点在棱上． （1）求证：； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得平面，并给出证明． 条件①：为的中点； 条件②：平面； 条件③：． （3）若为的中点，且点到平面的距离为1，求的长度． 23. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设点F为椭圆的左焦点，点，过点F作的垂线交椭圆于点P，Q，连接与交于点H．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 24. 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且． （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量． （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量． （3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 北师大附属实验中学2023—2024学年度第一学期期中试卷 高二年级数学 班级______姓名______学号______成绩______ 考 1．本试卷共4页，共五道大题，24道小题，答题卡共8页，满