4.5.3 函数模型的应用（第2课时）（教学设计）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

教学单元 第四章 指数函数与对数函数 教学内容 4.5.3 函数模型的应用（第2课时） 教学目标 学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2.能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点) 3.了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点) 4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．(重点) 核心素养 会利用已知函数模型解决实际问题，提升学生数学建模、数据分析等素养. 教学重难点 重点：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题． 难点： 利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析 评价． 学情分析 学生已经学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数及函数的零点，进一步研究各种函数模型的增长速度的差异，激发学生学习数学和应用数学的的意识，提升学生数学抽象、数学建模的核心素养． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决.    回顾上节课内容 复习巩固。发展学生数学建模、数据分析、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 新知讲授 【知识一：方案问题】 例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析 ： 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型 ， 再通过比较它们的增长情况 ， 为选择投资方案提供依据 解 ： 设第x天所得回报是y元 ， 则方案一可以用函数 y ＝40 进行描述 ； 方案二可以用函数 y ＝10x进行描述 ； 方案三可以用函数 进行描述 ． 三个模型中 ， 第一个是常数函数 ， 后两个都是增函数 ． 要对三个方案作出选择 ， 就要对它们的增长情况进行分析 ． 我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况 三种方案每天回报表 方案一的函数是常数函 数 ， 方案二 、 方案三的函数都是增函数 ， 但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不相同 ． 可以看到 ， 尽管方案一 、 方案二在第 １ 天所得回报分别是方案三的100倍和25 倍 ， 但它们的增长量固定不变 ， 而方案三是 “ 指数增长 ”， 其 “ 增长量 ” 是成倍增加的 ， 从第7天开始 ， 方案三比其他两个方案增长得快得多 ， 这种增长速度是方案一 、 方案二所无法企及的 ． 从每天所得回报看 ， 在第 １～３ 天 ， 方案一最多 ； 在第 ４ 天 ， 方案一和方案二一样多 ， 方案三最少 ； 在第５～８ 天 ， 方案二最多 ； 第9天开始 ， 方案三比其他两个方 案所得回报多得多 ， 到第30天 ， 所得回报已超过2亿元 ． 下面再看累计的回报数 ． 通过信息技术列表如下 投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，应选择方案三。 假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天，你认为这样的交易对你有利吗？ 解答如下：公司30天内为你的总投资为: 30万元 你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229=10737418.23≈1074(万元) 上述例子只是一种假想情况 ， 但从中可以看到 ， 不同的函数增长模型 ， 增长变化存在很大差异 通过对具体问题的分析建模，解模的过程，发展学生数学建模、数据分析、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 【知识二：利润问题】 例6. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求？ 分析 ： 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型 ， 按要求选择其中一个函数作为刻画 奖金总数与销售利润的关系 ． 由于公司总的利润目标为 1000万元 ， 所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润 ． 于是 ，