吉林省普通高中友好学校联合体2023-2024学年高二上学期第三十七届基础年段期中联考数学试题

吉林地区普通高中友好学校联合体第三十七届基础年级期中联考 （2023—2024学年度上学期） 高二数学试题 第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题（本大题共12小题，1-8为单选，每题5分，，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，9-12为多选，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。） 1. 若,,三点共线,则( ) A. B. C. D. 2. 已知点在基底下的坐标为,其中,,,则点在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 3. 已知双曲线经过点,其渐近线方程为,则双曲线的标准方程是( ) A. B. C. D. 4. 已知平面的一个法向量,点在内,则平面外一点到的距离为 ( ) A. B. C. D. 5. 若直线与平行,则与之间的距离是( ) A. B. C. D. 6. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为(　　) A. B. C. D. 7. 经过点作直线,若直线与连接的线段总有公共点,则的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点,若是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( ） A. B. C. D. 9. 若向量,,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 10. 对于曲线,下列说法正确的是( ) A. 当时,曲线表示椭圆 B. 当时,曲线表示焦点在轴上的双曲线 C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则 D. 曲线只能表示椭圆和双曲线 11. 已知圆:和圆:相交于,两点,下列说法正确的是( ) A. 圆与圆有两条公切线 B. 圆与圆关于直线对称 C. 线段的长为 D. ,分别是圆和圆上的点,则的最大值为 如图,过抛物线的焦点,斜率为的直线与抛物线交于,两点,与抛物线准线交于点,若是的中点,则( )        A. B. C. D.   第Ⅱ卷(非选择题共90分)      二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 过抛物的焦点作直线交抛物线于两点,如果,那么等于__________. 14. 已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是__________. 15. 双曲线的左､右顶点分别为A,B,右支上有一点M,且,则的面积为__________. 16. 坐标原点到直线的距离的取值范围是__________. 三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，18—22每小题12分，共60分） 17. 已知四面体中，为的重心，、、分别为边、和的中点，化简下列各表达式. （1）； （2）. 18. 有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶时，水面宽，当水面下降时，水面宽是多少米？ 19. 已知直线过点.    (1)若直线与直线垂直,求直线的方程    (2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数,求直线的方程. 20. 如图,在棱长为2的正方体中,,,分别是,,的中点.         (1)证明:.  (2)求直线与平面所成角的正弦值. 21. 已知点,以为直径的圆记为圆.  (1)求圆的方程;  (2)若过点的直线与圆交于,两点,且,求直线的方程. 22. 已知椭圆的焦距为,长轴长为.   (1)求椭圆的标准方程;   (2)直线与椭圆交于,两点,若,求的值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林地区普通高中友好学校联合体第三十七届基础年级期中联考 （2023—2024学年度上学期） 高二数学试题答案 一选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A D C A B D C AD BC ABD BC 二填空题 13___________10________ 14___________(2,0,2)_________ 15__________3________ 16_________________________ 三解答题   第17题： （1）由是的重心知，，………………………………2   又、为中点，∴且，………………………3 ∴，………………………4    ∴.…………………5 （2）由向量加法的平行四边形法则及几何意义知 ，……7 ，………………………8    ∴.………………………10 第18题： 不妨设抛物线的方程为，………………………2 由题意将点代入抛物线的方程中得，，…………5 从