重难点06 与指数函数、对数函数有关的复合函数（六大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

重难点06 与指数函数、对数函数有关的复合函数 【题型归纳目录】 题型一：判断复合函数的单调性 题型二：已知复合函数单调性求参数范围 题型三：求复合函数的值域 题型四：求复合函数的最值 题型五：与复合函数有关的不等式问题 题型六：判断复合函数的奇偶性 【方法技巧与总结】 与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数． 【典型例题】 题型一：判断复合函数的单调性 例1．已知函数，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 例3．已知函数，则的增区间为（   ） A．（–∞，–1） B．（–3，–1） C．[–1，+∞） D．[–1，1） 变式1．已知，则的减区间为（    ） A． B． C． D． 变式2．函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 变式3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 变式4．若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 题型二：已知复合函数单调性求参数范围 例4．若函数在区间上单调递增，则实数的最小值为 ． 例5．已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 例6．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 变式5．若（，且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 变式6．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 变式7．已知 在R上单调递减，则实数a的取值范围是 . 变式8．已知且，若函数在R上单调递减，则a的取值范围为 ． 变式9．已知函数．若在上单调递减，则实数a的取值范围是 ； 题型三：求复合函数的值域 例7．已知函数. (1)若，求的值； (2)求函数的值域. 例8．已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求在上的值域. 例9．求下列函数的值域： (1)； (2)． 变式10．求函数，在上的值域. 变式11．已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值域． 变式12．已知函数为奇函数． (1)求的值 (2)解不等式 (3)求的值域． 变式13．已知函数．对于任意的，都有． (1)请写出一个满足已知条件的函数； (2)判断函数的单调性，并加以证明； (3)若，求的值域． 变式14．已知函数（且）. (1)求函数的定义域； (2)若，求函数的值域； (3)是否存在实数a，b，使得函数在区间上的值域为，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由. 题型四：求复合函数的最值 例10．已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 例11．已知函数的图像关于轴对称． (1)求的值； (2)若函数，求的最大值． 例12．已知函数. (1)当时，解关于的方程； (2)若函数是定义在上的奇函数，求函数的解析式； (3)在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值. 变式15．设函数，（且）是定义域为的奇函数，且的图象过点． (1)求和的值； (2)是否存在实数，使函数在区间上的最大值为1．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 变式16．已知函数，是偶函数. (1)求的值； (2)若函数的图象在直线上方，求的取值范围； (3)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 变式17．设函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)若在上的最小值为，求的值. 变式18．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足. (1)求函数和的解析式，并判断函数的单调性(不用解析）； (2)求函数，的最小值. 变式19．已知函数，且，． (1)求a，b的值，并写出的解析式； (2)设，求在的最大值和最小值． 变式20．已知函数的图像经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)求的解析式； (2)函数，，求的最小值． 题型五：与复合函数有关的不等式问题 例13．已知函数 (1)当时，解关于x的方程 (2)若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式； (3)在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值. 例14．已知函数. (1)写出函数的定义域并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 例15．设函数且是奇函数．