1.4 解直角三角形（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 4 解直角三角形 学习目标 1.了解解直角三角形的概念，明确解直角三角形除了直角外至少需要两个条件(其中至少一个是边)，能用锐角三角函数解直角三角形．（重点） 2.经历解直角三角形的过程，掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法．（难点） （1）三边之间的关系:a2+b2=_____； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； （3）边角之间的关系： sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____. A C B c b a 如图，在Rt△ABC中，其中∠C=90°。它的边、角以及边角之间都有什么关系呢？ 复习回顾 c2 90° 勾股定理 直角三角形两锐角互余 锐角三角函数 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角. 直角三角形中除了直角外，还有5个元素，分别是三条边和2个角.那么至少知道几个元素就可以求出其他的元素呢？ A C B 一、创设情境，引入新知 利用边、角以及边角之间的关系，至少知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． A B C 例1:在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，求这个直角三角形的其他元素. 典型例题 二、自主合作，探究新知 探究一：已知两边解直角三角形 做一做：在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他的元素吗？ 分析：直角三角形中已知两边可以利用 求出第三条边； 直角三角形中，已知两边可以利用 求∠A(或∠B)的度数； 再利用 求∠B(或∠A)的度数． 勾股定理 锐角三角函数 两锐角互余 二、自主合作，探究新知 解：在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，a＝，b＝， ∴. 在Rt△ABC中，sin B＝， ∴ ∠B＝30° ∴ ∠A＝90°-∠B=60°． A B C 想一想：还有没有其他解题思路呢？ 二、自主合作，探究新知 议一议：分组探究，思考下面的问题： 1.由两个已知条件，能不能求出其中的一个锐角？ 2.如何再求出另外一个锐角的度数？ 3.如何求出第三条边的长？ A B C tanA= （或tanB=） A=60° (或B=30°) sinA= (或sinB=) 边c 分析： 二、自主合作，探究新知 解：在Rt△ABC中，a＝，b＝， ∴tanA=. ∴∠A=60°，∠B=90°-∠A=30° 在Rt△ABC中，sin A＝， ∴ . A B C 方法二： 知识要点 二、自主合作，探究新知 由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形． 已知直角三角形两条边求其他元素的方法： 方法1：已知两条边的长度，可以先利用勾股定理求出第三条边，然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角，再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角． 方法2：已知两条边的长度，可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角，然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角，再利用锐角三角函数求出第三条边． 二、自主合作，探究新知 探究二：已知一边和一个锐角解直角三角形 想一想：在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, b, c,且b=30,∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）. A B C b 30 c a 25° 典型例题 分析：直角三角形中已知一边和一个锐角，可以利用 求∠A的度数．再利用 求出另两条边. 锐角三角函数 两锐角互余 二、自主合作，探究新知 解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°， ∴∠A=90°-∠B=65°. A B C b 30 c a 25° 也可以利用勾股定理求出第三条边. 二、自主合作，探究新知 已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法： 已知一个锐角，先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角． 知道一条边的长，根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长； 也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长，再利用勾股定理求出第三条边的长． 知识要点 二、自主合作，探究新知 议一议：(1)除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外，还有其他的情况解直角三角形吗？ (2)在Rt△ABC中