24.1.3 弧、弦、圆心角（讲+练，四大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

24.1.3 弧、弦、圆心角 1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念. 2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用． 知识点一 弧的有关概念 1.弧、弦、半圆、劣弧、优弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图中“弦AC”，直径是圆中最长的弦,但弦不一定是直径 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆; 大于半圆的弧叫做优弧,用三个字母表示,如图中的;小于半圆的弧叫做劣 (liè)弧,用两个字母表示,如图中的 注意：半圆是弧,但弧不一定是半圆;弧包括优弧、劣弧和半圆 2.等弧 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧 注意：长度相等的弧不一定是等弧 即学即练 有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （1） 半圆既不是优弧，也不是劣弧. （2） 等弧必须具备两个条件，一是两弧所在圆的半径相等,二是弧的长度相等， 只有在同圆或等圆中才存在等弧,在大小不等的两个圆中不存在等弧，因此在判断两弧是否为等弧时，首先要看两弧所在的圆是否为同圆或等圆,然后再看弧的长度是否相等 知识点二 圆心角、弦、弦心距之间的关系 1.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角.如图所示，∠AOB 是一个圆心角 2.圆心角定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等 注意： (1) “等弧”是指能够重合的弧，只有在同圆或等圆中才有等弧.因为在一个圆中一条弦所对的弧有两条,所以由“弦相等”得出“弧相等”,这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等 (2) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉这个前提,即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图所示，两个圆的圆心相同，与对应同一个圆心角，但≠，≠. 即学即练1如图，在中，弦与弦相交于点E，且．    求证：． 即学即练2如图，已知圆的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．证明：是的中点．    知识点三 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系 1.1°的弧 在一个圆中,我们把1°圆心角所对的弧叫做1°的弧 2.圆心角度数与它所对弧的度数的关系 n°的圆心角所对的弧就是n°的弧 (1)相等的弧(即能够重合的弧)与度数相等(或长度相等)的弧的含义是不同的，只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧才是等弧，即等弧一定有相同的度数且等弧必须在同圆或等圆中存在,而相同度数的弧不一定是等弧. (2)圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,不能写成∠AOB=,正确写法是∠AOB的度数等于的度数. 即学即练1（2021秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD，BC于F，G，延长BA交圆于E．求证： =． 即学即练2（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，已知是的直径，点、为圆上两点，且弧弧，于点，的延长线于点． （1）试说明：； （2）若，，求的面积． 题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解 例1（23·24上·江门·期中）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 举一反三1（23·24上·滨海新·期中）如图，是的直径，，，则 ．    举一反三2（23·24上·无锡·阶段练习）在中，弧弧，，求的度数．    题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证 例2（17·18上·南通·期中）如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 举一反三1（23·24上·泰州·阶段练习）如图，的弦、的延长线相交于点，且，    (1)求证：； (2)求证：． 举一反三2（22·23上·徐州·期中）如图，是的两条弦，．求证：．    题型3圆心角概念辨析 例3（23·24上·成都·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．长方体的截面形状一定是长方形 B．各边都相等的多边形叫做正多边形 C．三棱锥只有三个面 D．顶点在圆心的角叫圆心角 举一反三1（23·24上·连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ．． 举一反三2（22·23下·淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 题型4求圆弧的度数 例4（22·23下·洛阳·期中）如图是两个大小