4.2.2等差数列的前n项和第2课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和 (2) 常见等差数列的前n项和 (1)1+2+3+4+..+n= n(n+1) 2 (2)2+4+6+8+.+2n=n(n+1) (3)1+3+5+7+.+(2n-1)=n2 等差数列的前n项和Sn S,= n(a +a,) 2 S。=na,+nn-d +(a-n 2 d、 设2=4(a2=B 2 .S.An2 Bn 当A卡0时，S是n的二次函数 (1)d>0时，S,有最小值. (2d<0时，S有最大值 当A=0,即d=0时，S,是n的一次函数 若数列{a,为等差数列，则数列的 前n项和S。=An2+Bn. 反之，若数列{an的前n项和S。=An2+Bn,则数列an为等差数列 等差数列的前n项和Sn的性质： ①等差数列前n项和S,是形如S,=An2+Bn的函数的形式， }也是等差数列 n ②等差数列的依次每项之和Sk,S2k-S,Sk-S2k,.组成了 公差为k2d的等差数列！ 等差数列{an},公差为d 01,02,03…,0k,0k+1,0k+2,0k+3,…,02k,02k+1,02k+2,02k+3…,3k,… 项 k项 ↓ ↓ S2k-Sk S3k-S2k 组成了公差为k2d的等差数列. ③若等差数列{an,公差为d,项数为2n(n口N) 偶数项的和为S偶奇数项的和为S奇，则 S偶~S奇=nd, = S an+ a1,02,03,04,05,06…,02n-l,02n S偶=a2+a4+…+a2n S奇=a1+a3+…+a2nl ☐S偶-S奇=(a2-a1)+(a4-a3)+.+(a2m-a2m-) =nd n(a+a2na) S奇 2 a1+02m-L= 2am=9 S偶 n(a2 +a2n) a2+a2n 2an+i an+l 2 ④若等差数列{an},公差为d,项数为2n-1(n口N) 偶数项的和为S偶，奇数项的和为S奇， S偶=a2+a4+…+a2m-2 S奇=a1+a3+…+a2nl 则S奇-S属=a,S属 n-1 精讲精练 例1.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30， 则其公差是 分析 : S偶=a2+a4+a6+ag+a10=30 S奇=a1+a3+a5+a,+ag=15 S偶-S奇=5d=15 ∴.d=3 例2.等差数列{a,的前m项之和为30，前2m项和为100， 求数列{an的前3m项的和S3m· 分析： 由等差数列前n项和S,的性质知， Sm,S2m~Sm,S3m-S2m,成等差数列. 口30,70，S3m-100,成等差数列. 口30+S3m-100=2070 解得，S3m=210 例3.等差数列{an中，a1<0,S。=S12,该数列前多少项的和最 小？ 解：S。=a1+a2+…+ag S12=a1+a2+…+ag+a10+a1+a12 S,=S12 .a1+a2+…+ag=a1+a2+…+ag+a10+a11+a12 ☐a10+a11+a12=0 又a1o+a12=2a1 ☐3a11=0,a1=0 an=a +10d 2 21d ☐a1+10d=0,a1=-10d n∈N',且对称轴为. 2 21 又a1<0 20 2 ▣d>0 而S,=a,+n-d 口当n=10或n=11时，S,最小 即a,的前10项或前11项 2 的和最小 练习： ()在等差数列{an中，若S4=1,Sg=4,则a1,+a1s+a1+a的值为 (2)等差数列{an的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6=