4.1数列的概念第一课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.1 数列的概念（1） 导入新课： 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问 题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如1，3，6， 10，… 1 3 6 10 由于这些数可以用三角形点阵表示，他们就将这些数 称为三角形数 类似地，1，4，9，16，…，可以用正方形点阵表示，如下图 1 4 9 16 由于这些数可以用正方形点阵表示，他们就将这些数 称为正方形数 学习新课： 按照一定顺序排列的一列数称为数列. 1.数列的概念 （1）三角形数：1，3，6，10，… （4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，… （2）正方形数：1，4，9，16，… （3）1，2，3，4，…的倒数排列成的一列数 特征：1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序 例如： 思考： (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？ 没有按照一定的顺序排列，不符合数列的有序性 不是同一个数列 提示: (2)数列中的数可以重复吗？ (3)数列与集合有什么区别？ 可以 数列：有序性、可重复性、确定性. 集合：无序性、互异性、确定性； 提示: 数列 集合 各项必须是数 集合中的元素可以是数字，也可是其他形式 数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性，如 {1，2，3}={1，3，2} 同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，1，… 集合中的元素具有互异性，如1，1，1，1，1，…组成的集合只能写成{1} 总结: 数列与集合的区别 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项. 2.数列的项 数列一般可以写成：a1,a2,a3,a4,…,an,… 简记为：{an} 思考： {an}与 an有何区别？ 答：{an}表示一个数列，而 an表示数列的第n项。 3.数列的表示方法 （1）列举法： （2）图象法： 将每一项按一定顺序，一一列举出 来表示数列的方法 比如：三角形数：1，3，6，10，… 在坐标系中描出（n,an）这些孤立的点. 比如：三角形数：1，3，6，10，… 将点（1，1）；（2，3）；（3，6）；（4，10）；… 在坐标系中描出。 如右图： O 图象是一些孤立的点 数列的实质: 从函数的观点看，数列的项 是序号n的函数. 即数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集 {1,2，…，n}）为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=1,2,3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），… R或R的子集 an＝f(n) y＝f(x) 点的集合 一些离散的点的集合 数列与函数对比表 总结： N*或它的有限子集{1,2,3，…，n} （3）通项公式法： 如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 即：an=f（n），n∈N* 我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项. 思考： 是否所有的数列都有通项公式？若有，通项公式是否唯一？ 答：①不是 ②若一个数列有通项公式，也不一定唯一，如数列：-1，1，-1，1……的通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写成an=(-1)n+2，也可以写成 -1（n为偶数） 1（n为奇数） an= （4）递推公式法： 给出数列{an}的第1项（或前几项）及以后各项与它相邻的前一项（或前几项）之间的关系式来表示数列. 例如： 如果数列{an}的首项a1=1，从第2项起开始每一项等于它的前一项的2倍再加1， 即an=2an-1+1（n>1）,那么 a2=2a1+1=3 a3=2a2+1=7 … 像这样给出数列的方法叫做递推法，其中 an=2an-1+1（n>1）是递推公式. (1)按项数分：有穷数列与无穷数列； (2)按项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列. 有穷数列 递增数列 无穷数列 递减数列 有穷数列 递增数列 无穷数列 无穷数列 摆动数列 常数列 4.数列的分类： 例题分析： 题型一 根据数列的前几项，写出数列的通项公式 例题1 写出下列数列的一个通项公式： 合写成： 总结： 数列{an} 通项公式 1，2，3，4，… an=n 2，4，6，8，… an=2n 1，3，5，7，… an=2n-1 1，4，9，16，…