4.2 指数函数（10大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

4.2 指数函数 重点：1、理解指数函数的概念；2、指数函数图象变换与参数的关系，特殊点在图象变换中的作用；3、复合函数的单调性、定义域与值域问题的处理方法；4、指数函数性质的应用． 难点：1、指数函数的图象与性质；2、底数a对函数的影响；3、复合函数相关问题中各种函数性质的综合应用。 一、指数函数的概念 1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： （1）如果，当 （2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． （3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 二、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 三、比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 四、简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 题型一 指数函数定义的判断 【例1】给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式1-1】下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）下列函数中，是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）下列函数中，是指数函数的为（ ） A． B． C． D． 题型二 利用指数函数的概念求参 【例2】（2022全国高一课时练习）若函数是指数函数，则等于（ ） A．或 B． C． D． 【变式2-1】（2022全国高一课时练习）若函数为指数函数，则（ ） A．或 B．且 C． D． 【变式2-2】（2022甘肃高一期末）如果函数和都是指数函数，则（ ） A． B．1 C．9 D．8 【变式2-3】（2023吉林长春高一期中）函数是指数函数，则有（ ） A．或 B． C． D．，且 题型三 求指数函数的解析式 【例3】（2023全国高一课时练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022全国高一课时练习）（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022全国高一课时练习）已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值． 【变式3-3】（2022全国高一课时练习）下列函数中，满足的是（ ） A． B． C． D． 题型四 指数型函数过定点问题 【例4】（2023重庆高三月考）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】（2023河南高一上期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023福建福州高一上期中）函数恒过定点（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2022全国高一课时练习）函数且所过的定点坐标为 ． 题型五 指数函数的图象问题 【例5】（2022全国高一课时练习）函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2022全国高一课时练习）指数函数与的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2022安徽高一