圆锥曲线的相关结论——2024届高三数学一轮复习

焦点三角形的面积公式(结论) 1、椭圆中焦点三角形面积公式 在椭圆()中,,分别为左、右焦点,为椭圆上一点,,的面积记为，则： ① ② ③,其中. 2、双曲线中焦点三角形面积公式 在双曲线(,)中,,分别为左、右焦点,为双曲线上一点,，的面积记为，则： ① ② ③ 注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用. 圆锥曲线的切线问题(结论) 圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法： 比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据来求解； 比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式： 1.过圆:上一点的切线方程为. 2.过椭圆上一点的切线方程为. 3.已知点,抛物线:和直线:. (1)当点在抛物线上时,直线与抛物线相切,其中为切点,为切线. (2)当点在抛物线外时,直线与抛物线相交,其中两交点与点的连线分别是抛物线的切线,即直线为切点弦所在的直线. (3)当点在抛物线内时,直线与抛物线相离. 圆锥曲线的中点弦问题(结论) 1.在椭圆:中:(特别提醒此题结论适用型椭圆) (1)如图①所示,若直线与椭圆交于,两点,过,两点作椭圆的切线,,有,设其斜率为,则. (2)如图②所示,若直线与椭圆交于,两点,为椭圆上异于,的点,若直线,的斜率存在,且分别为,,则. (3)如图③所示,若直线与椭圆交于,两点,为弦的中点,设直线的斜率为,则. 2.在双曲线:中,类比上述结论有:(特别提醒此题结论适用型双曲线) (1). (2). (3). 3.在抛物线：中类比1（3）的结论有. 特别提醒：圆锥曲线的中点弦问题常用点差法，但是注意使用点差法后要检验答案是否符合题意；另外也可以通过联立+韦达定理求解. 圆锥曲线中的一类定值问题(结论) 在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值. 1、在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率 2、在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率 3、在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率. 圆锥曲线中的一类定点问题(结论) 若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点. (1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点. (2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为. (3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点.同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $$