第二章 圆锥曲线 单元测试-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 单元测试 一、单选题 1．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为，灯深，则抛物线的标准方程可能是(　　) A． B． C． D． 2．已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 3．已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 4．已知实数x，y满足：，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．5 5．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为（    ）    A． B． C． D． 7．椭圆的左焦点为F，右顶点为A，以F为圆心，为半径的圆与E交于点P，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设抛物线：焦点为，点为抛物线准线上的点，经过点的动直线与抛物线交于不同的两点，其中坐标原点为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．当变化时，所表示的曲线形状，下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．或是方程表示双曲线的充要条件 C．该方程不可能表示圆 D．是方程表示直线的充分不必要条件 11．已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（　　） A． B．2 C． D． 12．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（    ） A． B．E的离心率等于 C．双曲线渐近线的方程为 D．的内切圆圆心在直线上 三、填空题 13．抛物线C：的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若，且，则 . 14．过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线m，n，直线m与椭圆交于A，B两点，直线n与椭圆交于C，D两点，若．则下列方程①；②；③；④．其中可以作为直线AB的方程的是 （写出所有正确答案的序号）． 15．已知双曲线 的一条渐近线方程为，若直线与只有一个公共点，则实数的值为 16．双曲线上一点P到的距离最小值为 . 四、解答题 17．已知为抛物线的焦点，为抛物线在第一象限上的一点，且轴，． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 18．已知椭圆C的中心为坐标原点O，对称轴为x轴，y轴，且过，两点． (1)求C的方程； (2)若P为C上不同于点A，B的一点，求面积的最大值． 19．已知椭圆的左顶点，点是椭圆上关于原点对称的两个动点（点不与点重合），面积的最大值是2. (1)求椭圆的方程. (2)若直线与轴分别相交于点，是否存在定点，总有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 20．已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程； 21．已知为坐标原点，动直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与相切，证明：的面积为定值. 22．已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，. （i）求的面积与的面积之比； （ⅱ）证明：为定值. 参考答案 1．C 【分析】建立适当的直角坐标系，设抛物线为标准方程，确定系数即可. 【详解】如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40,30)， 从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x. 虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意． 故选：C. 2．D 【分析】设与渐近线交于，由对称性知且，在直角中可求得，再由求得的面积. 【详解】 设与渐近线交于，则，，， 所以，， 由分别是与的中点，知且，即， 由得，所以， 故选：D 3．B 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理得出，再根据点在双曲线上求双曲线方程. 【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点， 如图所示，过点作于点.    因为，所以， 因为， 所以，所以， 故，得. 因为，所以，故点， 将代入双曲线中， 即，化简得， ， 解得或（舍去），故B项正确. 故选：B.