三角恒等变换的应用 专项训练-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专项训练——三角恒等变换的应用 一、必备知识基础练 1.[探究点二]若tan α=2,则=(　　) A. B. C. D.1 2.[探究点二]化简2+2sin2得(　　) A.2+sin α B.2+sin C.2 D.2+sin 3.[探究点四]函数f(x)=sin xcos x+cos2x-1的值域为(　　) A. B. C.[-1,0] D. 4.[探究点四]函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期T是　　　　. 5.[探究点三·2023广东清远期末]如图,已知OAB是半径为2 km的扇形,OA⊥OB,C是弧AB上的动点,过点C作CH⊥OA,垂足为H.某地区欲建一个风景区,该风景区由△AOC和矩形ODEH组成,且OH=2OD,则该风景区面积的最大值为　　　　　. 6.[探究点二]化简:=　　　　　. 7.[探究点一、二、四]已知函数f(x)=. (1)求f的值; (2)当x∈时,求函数g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值. 二、关键能力提升练 8.已知α满足sin α=,则coscos=(　　) A. B. C.- D.- 9.已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则(　　) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0,π)内只有1个零点 C.f(x)的最小正周期为 D.直线x=为f(x)图象的一条对称轴 10.下列各点中,是函数f(x)=sin x-sin的一个对称中心的是(　　) A. B. C. D. 11.已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是,则函数g(x)=λsin xcos x+sin2x的图象的一条对称轴是直线(　　) A.x= B.x= C.x= D.x=- 12.(多选题)以下函数在区间内单调递增的有(　　) A.y=sin x+cos x B.y=sin x-cos x C.y=sin xcos x D.y= 13.已知函数f(x)=sin x+acos x的图象的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asin x+cos x的最大值是(　　) A. B. C. D. 14.化简:tan 70°cos 10°(tan 20°-1)=　　　　　.  15.已知函数f(x)=4tan xsincos-. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 16.如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ. (1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数; (2)若R=45 m,求当θ为何值时,矩形ABCD的面积S最大?最大面积是多少?(取≈1.414) 参考答案 一、必备知识基础练 1.C　解析 因为tan α=2,则.故选C. 2.C　解析 原式=1+2sincos+1-cos =2+sin α-cos=2+sin α-sin α=2. 3.A　解析 f(x)=sin xcos x+cos2x-1 =sin 2x+-1=sin 2x+cos 2x- =sin, 因为-1≤sin≤1,所以y∈. 4.π　解析 f(x)=sin 2x-cos 2x-(1-cos 2x) =sin 2x+cos 2x-=sin-,所以T==π. 5. km2　解析 设∠COA=θ,其中θ∈,则CH=2sin θ,OH=2cos θ. 又OH=2OD,则OD=cos θ. 则风景区面积S=OH·OD+·OA·CH=2cos2θ+2sin θ. 又cos2θ+sin2θ=1,则2cos2θ+2sin θ=-2sin2θ+2sin θ+2=-22+, 当且仅当sin θ=,即θ=时取等号. 6.　解析 原式= . 7.解 (1)f(x)====2cos 2x, 所以f=2cos=2cos . (2)g(x)=cos 2x+sin 2x=sin. 因为x∈,所以2x+, 所以当x=时,g(x)max=,当x=0时,g(x)min=1. 二、关键能力提升练 8.A　解析 coscos=cos ·cos =sincos=sin =cos 2α=(1-2sin2α)=,故选A. 9.D　解析 函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x =sin 2x-cos 2x=2=2sin, 可得f(x)的最大值为2,最小正周期为T==π,故A,C错误; 令f(x)=0,得2x-=kπ,k∈Z,即为x=,k∈Z, 可得f(x)在区间(0,π)内的零点为,故B错误; 由f=2s