4.3 解直角三角形 课件 2023—2024学年湘教版数学九年级上册

第四章 锐角三角函数 4.3 解直角三角形 复习导入 sinα==. cosα== A B C α 对边 斜边 邻边 tanα== 在Rt△ABC中，若∠A+∠B=90°，则 　　　tan A·tan =tan A·tan B=1. ， 复习导入 角α 值 30° 45° 60° sinα cosα tan α 在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 对于这类问题，我们一般利用前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决. 探究新知 cos A= sin A= 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c . （1）直角三角形的三边之间有什么关系？ （2）直角三角形的锐角之间有什么关系？ （3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理) ∠A+∠B=90°. tan A= A B C a c b 4 在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？ 如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个. 如果已知2个元素，且至少有一个边是边就可以了. 探究新知 知识要点 在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。 解直角三角形是要求根据已知元素求出所有的未知元素，不是只求其中的一个元素，可简单说成“知二求三”. 在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形. 例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c. 解：∵∠B=90°-∠A=60° ,∠A=30°.且tan B=. ∴b=a·tan B=5·tan60°=5 ∵sin A= ∴= 10. c 还有没有另外一个解法？ 典例精析 解直角三角形的依据： (1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°； (3)边角之间的关系:sin A= cos B=cos A= sin B= (4)面积公式：S△ABC= 知识要点 在运用关系式解直角三角形时，要灵活运用上述关系的变形式。 典例精析 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A = ，BC = 5， 试求AB的长. 解：∵ ∠C=90° ，cos A = ，∴ 设AB=x，则AC= 又AB²=AC²+BC²，则x²=（x）²+5² ∴x1=,x2=（舍去） ∴AB的长为. 在解直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理和方程思想。 知识要点 1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，按题意标明已知元素. 2.找关系式：选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”. 3.遵循规则：遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”. 解直角三角形时，要注意以下几点： 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，b=3 cm，求a，c的长度. 解：∠A=90°-∠B=90°-45°=45°. C A B 又∵ ∴a=b·tan A=3·tan45°=3 cm. ∵sin A = ∴c= = = 当堂练习 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6cm ，c=10cm，求b，∠A，∠B （角度精确到1°）. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知 ∴∠A≈37°. ∴∠B=90°-∠A=90°-37°=53°. C A B ∵sin A = = = 当堂练习 解：∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. ∴a=c·sin A=16·sin30°=8 cm. 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=16cm，求a，b的长度. ∵sin A = ∵sin B = cm 课堂小结 解直角三角形的依据： (1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°； (3)边角之间的关系:sin A= cos B=cos A= sin B= (4)面积公式：S△ABC= 在运用关系式解直角三角形时，要灵活运用上述关系的变形式。 $$