4.2.1指数函数的概念-【赢在课堂】2023-2024学年高一数学同步精品课件（人教A版2019必修第一册）

4.2.1指数函数的概念 复习导入 ①② (1); (2); (3) 指数 新知探究 指数函数 指数函数的概念 指数函数的图象和性质 指数函数及其性质的应用 路径： 概念 背景 图象及其性质 应用 新知探究 实例1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 思考：观察表格中的数据，比较两地景区游客 人次每年的变化情况，发现了怎样的变化规律？ 新知探究 观察表格中的数据 比较两地景区游客人次每 年的变化情况 发现了怎样的变化规律？ 角度1：可以通过年增加量的数据看变化趋势. 角度2：为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来. 新知探究 曲线越来越陡（非线性增长） 近似直线上升（线性增长） 新知探究 A景区构建函数模型，从2001年开始，每年的增加量约为10万人次，则 1年后，游客人次增加了_______, 2年后，游客人次增加了_______, 3年后，游客人次增加了_______, …… 年后，游客人次增加了_______, 设年后的增加量记为，则_____________。 追问：类比A景区的研究过程，B景区是否也存在类似的“增加量”这样的不变量? A景区 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 新知探究 思考：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试. 增长率 为常数 结果表明，地景区的游客人次的年增长率都约为，是一个常数. 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率.增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量. 新知探究 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，地景区的游客人次近似于指数增长. 显然，从2001年开始，地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 如果设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么.① 这是一个函数，其中指数是自变量. 1年后，游客人次是2001年的倍； 2年后，游客人次是2001年的倍； 年后，游客人次是2001年的倍. 新知探究 实例2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。 死亡年数 1年 2年 3年 ······ 5730年 年 碳14含量 问题1:该情境中有何变量关系？ 问题2:将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格. ······ 问题3:若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式。 我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半， 即，那么 则. 新知探究 问题4:你能求出的值吗？ 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减。 新知探究 思考:请说出这两个式子有什么特征？你能否用一个式子反映这些特征？ （指数为自变量，底数为常数） 思考1:在中，对有要求吗？ 没有， 思考2:在中，对有要求吗？ 时，不一定有意义，如； ，没有研究价值 新知探究 一般地，函数，且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是. 常数（大于0且不等于1） 自变量 系数为1 y＝1 · ax 辨析1：下列函数为指数函数的有_______. 练习巩固 练习1：给出下列函数：①②③④;⑤. 其中，指数函数的个数是（ ）. .0 .1 .2 .4 【答案】： 变式1：若函数是指数函数，则=___________ . 解：∵是指数函数， ∴，即， ∴或 而且，∴. 练习巩固 例1：已知指数函数，且)，且， 求的值. 解：∵，且，则， 解得，于是. ∴，，. 练习巩固 练习2：已知指数函数且的图象过点， 的值. 解：∵且的图象过点， ∴ 即 ∴ 变式2：已知函数且，.求函数的一个解析式.并求出 的值. 【答案】： 练习巩固 例2：（1）在情境1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外