第三章 圆锥曲线的方程（章末小结）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

章末小结 选择性必修第二册 第三章 《圆锥曲线的方程》 1 知识网络 知识梳理——1.圆锥曲线的定义和性质 知识梳理——1.圆锥曲线的定义和性质 知识梳理——2.直线与椭圆位置关系的判断 直线与椭圆位置关系的判断(代数法) 知识梳理——3.直线与双曲线位置关系的判断 直线与双曲线位置关系的判断(代数法) 知识梳理——4.直线与抛物线位置关系的判断 直线与双曲线位置关系的判断(代数法) 知识梳理——5.抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦： AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． 方法归纳——1.求椭圆的标准方程(待定系数法) 方法归纳——2.求双曲线的标准方程(待定系数法) 方法归纳——3.求抛物线的标准方程 求抛物线标准方程的方法： (1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程． (2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值． 方法归纳——4.求椭圆的焦点三角形的面积 知识梳理——5.求双曲线的焦点三角形的面积 方法归纳——6.求双曲线的渐进线 方法归纳——7.抛物线定义的应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现“点点距”与“点线距”的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． ①点在抛物线外：求抛物线上的点P到抛物线外的定点A的距离与到准线的距离d之和的最小值．方法是利用抛物线的定义把d转化为|PF|(F为抛物线的焦点)，即将求|PA|＋d的最小值转化为求|PF|＋|PA|的最小值．利用P，A，F三点共线求最小值． ②点在抛物线内：求抛物线上的点P到抛物线内的一定点A的距离与到抛物线焦点F的距离之和的最小值．方法是利用抛物线的定义把|PF|转化为P到准线l的距离d，即将求|PA|＋|PF|的最小值转化为求d＋|PA|的最小值．利用点A到准线的垂线段最短求最小值． 方法归纳——8.圆锥曲线的中点弦问题 解决椭圆或双曲线的中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 方法归纳——9.圆锥曲线的弦长 方法归纳——10.求圆锥曲线的离心率 END 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹 标准 方程 ＋＝1或＋＝1 (a＞b＞0) －＝1或－＝1 (a＞0，b＞0) y2＝2px或y2＝－2px 或x2＝2py或x2＝－2py (p＞0) 关系式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2 — 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 图形 封闭图形 无限延展，但有渐近线 y＝±x或y＝±x 无限延展，没有渐近线 变量 范围 |x|≤a，|y|≤b 或|y|≤a，|x|≤b |x|≥a或|y|≥a x≥0或x≤0 或y≥0或y≤0 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 e＝，且0＜e＜1 e＝，且e＞1 e＝1 决定形状 的因素 e决定扁平程度 e决定开口大小 2p决定开口大小 一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)．② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0． (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，直线与双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，直线与双曲线相离． (1)点差法：对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用法．如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上两点，则直线AB的斜率k