4.2 指数函数 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 新课导入1 对于幂()，我们已经把指数的范围拓展到了实数.上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法.下面继续研究其他类型的基本初等函数. 问题1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，地提高了景区门票价格，而地则取消了景区门票.右表给出了两地景区2001年至2015年的旅游人次以及逐年增加量. 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 为了有利于观察规律，根据上表格，分别画出两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象(如下两图). 观察图象和表格，可以发现，地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律. 从2002年起，将地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到： 结果表明，地景区的游客人次的年增长率都约为，是一个常数. 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，地景区的游客人次近似于指数增长. 显然，从2001年开始，地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的倍； 2年后，游客人次是2001年的倍； 3年后，游客人次是2001年的倍； …… 年后，游客人次是2001年的倍. 如果设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么. ① 这是一个函数，其中指数是自变量. 问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡1年后，生物体内碳14含量为； 死亡2年后，生物体内碳14含量为倍； 死亡3年后，生物体内碳14含量为倍； …… 死亡年后，生物体内碳14含量为. 根据已知条件，，从而， 所以. 设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么，即 ② 这也是一个函数，指数是自变量.死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减.像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减. 新课讲解1 如果用字母代替上述①②两式中的底数和，那么函数和就可以表示为的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于且不等于的常量. 一般地，函数，且叫做指数函数，其中指数是自变量，是指数函数的底数，定义域是. 一、指数函数的概念 (1)指数是自变量；(2)底数为且且.(3)系数为1； 例1 已知指数函数(，且)，且，求，，的值. 解：因为，且，则，解得，于是.所以，，. 例2 (1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况. (2)在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 解：(1)设经过年，游客给两地带来的收入分别为和，则 ， . 利用计算工具可得， 当时，. 当时，. 结合右图可知： 当时，， 当时，. 当时，. 这说明，在2001年，游客给地带来的收入比地多412000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有，这时游客给地带来的收入和地差不多；此后，，游客给地带来的收入超过了地；由于增长得越来越快，在2015年，地的收入已经比地多了347303万元了. (2)设生物死亡年后，它体内碳14含量为.如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 . 当时，利用计算工具求得. 所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%. 在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则.形如且；，且的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. 练习（P115） 新课导入2 下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数.首先画出指数函数的图象，然