素养拓展34 圆锥曲线中的定点、定值问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展34 圆锥曲线中的定点、定值问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 【一般策略】 ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程 二、定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【常用结论】 结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）. 结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点. 结论3  过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点. 结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值. 结论5  设点A，B是椭圆（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=- 二、题型精讲精练 【典例1】在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，． (1)求椭圆的方程； (2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 【解析】（1）由题意知，，，， ∵，， ∴，解得，从而， ∴椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，，． 直线不过点，因此． 由 ，得， 时，，， ∴ ， 由，可得，即， 故的方程为，恒过定点． 【典例2】已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由． 【解析】解：（1）椭圆离心率为，即， 点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ，，，故椭圆方程为． （2）由直线与椭圆交于，两点， 联立，得， 设，，，，则△， ，， 所以， ， ， 原点到的距离， 为定值． 【题型训练1-刷真题】 一、解答题 1．（22·23·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 2．（21·22·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 3．（21·22·全国·专题练习）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：． (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值． 4．（19·20·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【题型训练2-刷模拟】 1.定点问题 一、解答题 1．已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点． (1)求抛物线的方程； (2)如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由． 2．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 3．设抛物线的方程为，点为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，． (1)当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系； (2)求证：直线恒过定点． 4．已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点. 5．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标. 6．已知双曲线的